Duas raízes da equação biquadrada x^4+b x^2+c=0 são 0,2333 ldots e 307. O valor de c é:
a) 1 .
b) 3 .
c) 5 .
d) 7 .
e) 11 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma equação biquadrada da forma x^4 + b x^2 + c = 0. A gente sabe que duas das raízes dessa equação são aproximadamente 0,2333… e exatamente 307. Nosso objetivo aqui é descobrir qual o valor de c entre as opções dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma equação biquadrada. Ela é uma equação de quarto grau (tem x^4), mas sem os termos de x^3 e x. Para resolver isso, uma dica legal é fazer uma substituição: vamos chamar y = x^2. Assim, a equação original fica mais simples: y^2 + b y + c = 0.

Passo 3

Agora, essa nova equação é quadrática em y, ou seja, do tipo ay^2 + by + c = 0. As soluções para y (as raízes da equação) podem ser encontradas usando a fórmula de Bhaskara, mas como não precisamos do valor de b, vamos focar nas raízes que já conhecemos.

Passo 4

Dado que duas raízes da equação original x^4 + b x^2 + c = 0 são 0,2333 e 307, podemos relacionar essas raízes com as raízes da equação quadrática em y. Lembrando que se y = x^2, então as raízes para y são os quadrados das raízes de x.

Passo 5

Vamos chamar as raízes de y de y1 e y2. Então temos:
y1 = (0,2333ldots)^2 e y2 = (307)^2
Calculando:
y1 approx 0,2333^2 approx 0,0544 e y2 = (307)^2 = 90049 approx 18,3673

Passo 6

Sabemos que, para a equação quadrática y^2 + b y + c = 0, a soma das raízes é -b e o produto das raízes é c. Então:
y1 + y2 = -b e y1 times y2 = c

Passo 7

Nos interessa encontrar c, que é o produto das raízes y1 e y2:
c = y1 times y2 approx 0,0544 times 18,3673 approx 0,997 approx 1

Resposta

O valor de c é 1, ou seja, a resposta correta é a letra a).

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