Resolva 16 x^4+9=40 x^2 em R

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação 16 x^4 + 9 = 40 x^2. Aqui, estamos lidando com uma equação polinomial de quarto grau, que é parte da matéria de Álgebra. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de simplificação e resolver uma equação quadrática.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para trazer tudo para um lado, deixando a equação igualada a zero. Então, subtraímos 40x^2 de ambos os lados:
16x^4 + 9 - 40x^2 = 0
ou, rearranjando:
16x^4 - 40x^2 + 9 = 0

Passo 3

Percebemos que a equação é do quarto grau, mas ela tem apenas termos pares de x, como x^4 e x^2. Isso significa que podemos fazer uma substituição para simplificar. Vamos chamar y = x^2. Assim, x^4 vira y^2. Substituindo na equação:
16y^2 - 40y + 9 = 0

Passo 4

Agora temos uma equação quadrática em y: 16y^2 - 40y + 9 = 0. Para resolver essa equação, usamos a fórmula de Bhaskara:
y = -b pm raizb^2 - 4ac2a
onde a = 16, b = -40 e c = 9. Substituindo:
y = 40 pm raiz(-40)^2 - 4 times 16 times 92 times 16
y = 40 pm raiz1600 - 57632
y = 40 pm raiz102432
y = 40 pm 3232

Passo 5

Isso nos dá duas soluções para y:
  1. y = 40 + 3232 = 7232 = 94
  2. y = 40 - 3232 = 832 = 14
Lembrando que y = x^2, então agora vamos resolver para x.

Passo 6

Para y = 94:
x^2 = 94
x = pm 32
Para y = 14:
x^2 = 14
x = pm 12

Resposta

As soluções reais da equação são:
x = 32, x = -32, x = 12, x = -12

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