Duas retas r e s correspondem, respectivamente, às funções definidas por: y=x+2 e y= -2 x+m, em que m \in \mathbb{R}. Se r e s intersectam-se no ponto (3,5), qual é o valor de m ?

Passo 1

O enunciado dá duas retas r e s descritas por equações: r:\;y=x+2 e s:\;y=-2x+m, com m\in\mathbb{R}. Diz que r e s intersectam-se no ponto (3,5). A pergunta é: qual é o valor de m?
Informações relevantes:
  • A reta r avaliada em x=3 deve dar y=5.
  • A reta s avaliada em x=3 também deve dar y=5.
  • A incógnita que precisamos encontrar é m.

Passo 2

Entendendo o que significa "duas retas se intersectarem no ponto (3,5)".
Significa que o par de coordenadas (x,y)=(3,5) satisfaz as duas equações das retas. Em outras palavras, substituindo x=3 e y=5 em cada equação, ambas devem ficar verdadeiras. Isso é a ideia central: um ponto da interseção pertence simultaneamente às duas retas.

Passo 3

Vamos verificar a reta r no ponto dado, só para confirmar consistência. Substituímos x=3 na equação de r:
y = x + 2
Substituindo x=3,
y = 3 + 2 = 5.
Portanto a reta r realmente passa por (3,5), como declarado. Isso confirma que a coordenada y=5 é coerente com r.

Passo 4

Agora usemos a mesma ideia para a reta s. A equação de s é
y = -2x + m.
Como (3,5) pertence a s, ao substituir x=3 e y=5 obtemos uma equação que envolve m.

Passo 5

Substituímos x=3 e y=5 em y=-2x+m:
5 = -2\cdot 3 + m.
Agora calculamos o produto -2\cdot 3:
-2\cdot 3 = -6,
logo a equação fica
5 = -6 + m.

Passo 6

Isolamos m somando 6 nos dois lados da igualdade:
5 + 6 = m.
Calculando a soma,
11 = m.
Assim encontramos o valor de m.

Passo 7

Vamos conferir rapidamente: com m=11, a reta s fica y=-2x+11. Para x=3 temos y=-2\cdot3+11=-6+11=5, que é justamente a coordenada y do ponto indicado. Portanto está consistente com a interseção em (3,5).

Resposta

11

Exercícios relacionados