Resolva os seguintes sistemas, algébrica e graficamente, e classifique cada um deles em seu caderno.
(c) \left\{\begin{array}{l}x+y=5 \\\\ 3 x+3 y=15\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema algébrica e graficamente, e classificá-lo. As informações dadas são as duas equações do sistema:
\begin{cases} x+y=5\\[4pt] 3x+3y=15 \end{cases}
Perguntas que precisamos responder:
Qual é a solução do sistema encontrada por via algébrica?
Como fica a solução ao representar graficamente as duas equações?
Qual é a classificação do sistema (por exemplo: possível e determinado, possível e indeterminado, impossível)?]
Passo 2
Vamos analisar as equações e fazer uma manipulação algébrica simples que costuma ser utilizada em provas: verificar se uma equação é múltipla da outra. Isto é útil porque, se uma equação é exatamente um múltiplo da outra, as duas representam a mesma reta no plano e o sistema terá infinitas soluções.
Tomando a segunda equação, podemos dividir ambos os lados por 3 (isso é permitido porque 3\neq0). Fazendo isso obtemos:
Portanto a segunda equação reduz-se exatamente à primeira. Isso significa que não temos duas equações independentes: as duas são a mesma equação escrita de forma diferente.
Passo 3
Agora, a partir de \,x+y=5\, podemos isolar uma variável para escrever a família de soluções. Por exemplo, isolando y:
x+y=5 \quad\Rightarrow\quad y=5-x.
Isto nos dá a descrição completa das soluções: qualquer par (x,y) com y=5-x satisfaz ambas as equações. Em notação de conjunto:
\{(x,y)\mid y=5-x,\; x\in\mathbb{R}\}.
Para fixar a ideia, alguns exemplos de soluções são (0,5), (1,4), (2,3), (-1,6), etc. Podemos verificar substituindo em 3x+3y=15:
3x+3(5-x)=3x+15-3x=15,
que é uma identidade verdadeira para todo x, confirmando que todas essas escolhas funcionam.
Passo 4
Agora a parte gráfica (como você faria no caderno, passo a passo): escreva cada equação na forma y=mx+b (forma explícita, onde m é a inclinação e b é a ordenada no ponto em que a reta cruza o eixo y).
Aqui a inclinação é m=-1 e a interceptação em y é b=5. Pega dois pontos fáceis para traçar a reta no caderno: quando x=0 temos y=5 (ponto (0,5)); quando x=5 temos y=0 (ponto (5,0)). Ligue esses pontos e você tem a reta.
Da segunda equação, dividindo por 3 obtemos novamente x+y=5, que leva à mesma forma y=-x+5. Logo, graficamente as duas equações representam exatamente a mesma reta: ao desenhar as duas, você verá que elas coincidem (sobrepõem-se). Isso confirma a solução algébrica: todas as infinitas pontos dessa reta são soluções do sistema.
Passo 5
Explicando a classificação usando termos que costumam cair em prova:
“Sistema possível e determinado” significa exatamente uma solução (duas retas distintas que se cruzam em um ponto).
“Sistema possível e indeterminado” significa infinitas soluções (as duas equações representam a mesma reta).
“Sistema impossível” significa nenhuma solução (duas retas paralelas distintas).
No nosso caso, como ambas as equações são equivalentes (a segunda é múltipla da primeira), temos infinitas soluções. Portanto o sistema é “possível e indeterminado” (às vezes também chamado de “dependente”).
Resposta
Conjunto-solução: \{(x,y)\mid y=5-x,\; x\in\mathbb{R}\}
Gráfico: as duas equações representam a mesma reta \,y=-x+5\, (logo coincidem)
Classificação: sistema possível e indeterminado (infinitas soluções)