Dê duas soluções para cada uma das equações com a condição inicial dada:
(a) y^{\prime}=5 y^{\frac{4}{5}}, \quad y(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para achar duas funções y(t) que satisfaçam a equação diferencial
y' = 5\,y^{\tfrac{4}{5}}
com a condição inicial y(0)=0. Este é um caso de EDO separável em que a solução trivial y\equiv0 também convive com uma família de soluções não triviais, pois a função f(y)=5y^{4/5} não é Lipschitz em y=0.

Passo 2

Verificamos a solução trivial y(t)=0. Nesse caso,
y'(t)=0 \quad\text{e}\quad 5\,y(t)^{\tfrac{4}{5}}=5\cdot0^{\tfrac{4}{5}}=0,
logo y'(t)=5\,y(t)^{4/5} e y(0)=0 ficam satisfeitas.

Passo 3

Para achar a solução não trivial, separamos variáveis:
\frac{dy}{y^{4/5}} = 5\,dt.
Integrando,
\int y^{-4/5} \,dy = \int 5 \,dt \quad\Longrightarrow\quad \frac{y^{1/5}}{(1/5)} = 5t + C \quad\Longrightarrow\quad y^{1/5} = t + C'
onde C'=C/5. Elevando à quinta potência,
y(t) = (\,t + C'\,)^{5}.
Impondo y(0)=0 0 = (0 + C')^{5}, logo C'=0. Assim
y(t) = t^{5}.

Resposta

As duas soluções com y(0)=0 são:
y_{1}(t) = 0, \qquad y_{2}(t) = t^{5}.

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