Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada.
Passo 1
O enunciado pede que a gente desenhe o sólido cujo volume é dado pelas integrais iteradas
e
Em ambos os casos a “tampa” do sólido é o plano
e a “base” é a região
no plano
definida pelas respectivas desigualdades. Nos passos seguintes vamos esboçar cada uma dessas regiões e depois levantar o plano
sobre elas.
Passo 2
Determinar e esboçar a região
para
As fronteiras são:
- A curva
, que reescrevendo em forma de dá , parábola horizontal com vértice em . - A curva
, que para parte de , sobe até um máximo em e volta a .
Para esboçar:
– No plano, desenhe o eixo horizontal e vertical.
– Trace a parábola horizontalentre e .
– Trace a curvade até .
– Sombreie a região entre essas duas curvas para.
Passo 3
Esboçar o sólido sobre
:
– A região de base é o sombreamento de no plano
.
– Em cada ponto , a altura é
, que é um plano inclinado decrescendo quando
cresce.
– Desenhe três planos de corte: ,
e um valor intermediário (por exemplo
) projetados no espaço, cada curva de interseção com
é uma reta inclinada em
.
– Una essas curvas para formar o “teto” inclinado sobre a base .
– A região de base é o sombreamento de
– Em cada ponto
– Desenhe três planos de corte:
– Una essas curvas para formar o “teto” inclinado sobre a base
Passo 4
Determinar e esboçar a região
para
Aqui a fronteira superior é a parábola vertical
. Para desenhar:
– No plano , trace de
a
a curva
.
– O eixo é a fronteira inferior.
– Sombreie a região abaixo da parábola até o eixo .
– No plano
– O eixo
– Sombreie a região abaixo da parábola até o eixo
Passo 5
Esboçar o sólido sobre
:
– A base é o sombreamento de no plano
.
– A tampa é novamente o plano .
– Em cada fixo, o corte vertical pela reta paralela a
mostra um retângulo de altura
e largura
de
a
.
– Desenhe linhas de contorno no plano e eleve cada ponto até
para completar o esboço do sólido.
– A base é o sombreamento de
– A tampa é novamente o plano
– Em cada
– Desenhe linhas de contorno no plano
Resposta
Os dois sólidos são regiões sob o mesmo plano inclinado
mas com bases diferentes:
(a) Base limitada por
e
para
.
(b) Base limitada pela parábola
para
.
Em cada caso, basta desenhar a região de base no plano e depois levantar o plano
sobre ela.
(a) Base
(b) Base
Em cada caso, basta desenhar a região de base no plano