Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada.
\int_{0}^{1} \int_{\sqrt{y}-1}^{y-y^{3}}(1-x) d x d y
\int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x^{2}}(1-x) d y d x

Passo 1

O enunciado pede que a gente desenhe o sólido cujo volume é dado pelas integrais iteradas
\int_{0}^{1}\int_{\sqrt y -1}^{\,y - y^{3}}(1-x)\,dx\,dy
e
\int_{0}^{1}\int_{0}^{\,1 - x^{2}}(1-x)\,dy\,dx.
Em ambos os casos a “tampa” do sólido é o plano z=1-x e a “base” é a região R no plano xy definida pelas respectivas desigualdades. Nos passos seguintes vamos esboçar cada uma dessas regiões e depois levantar o plano z=1-x sobre elas.

Passo 2

Determinar e esboçar a região R_{1} para
0 \le y \le 1, \quad \sqrt y -1 \le x \le y - y^{3}.
As fronteiras são:
  1. A curva x=\sqrt y -1, que reescrevendo em forma de y y=(x+1)^{2}, parábola horizontal com vértice em (-1,0).
  2. A curva x=y-y^{3}, que para y\in[0,1] parte de (0,0), sobe até um máximo em y=1/\sqrt3 e volta a (0,1).
    Para esboçar:
    – No plano xy, desenhe o eixo x horizontal e y vertical.
    – Trace a parábola horizontal y=(x+1)^{2} entre y=0 e y=1.
    – Trace a curva x=y-y^{3} de y=0 até y=1.
    – Sombreie a região entre essas duas curvas para 0\le y\le1.

Passo 3

Esboçar o sólido sobre R_{1}:
– A região de base é o sombreamento de R_{1} no plano xy.
– Em cada ponto (x,y)\in R_{1}, a altura é z=1-x, que é um plano inclinado decrescendo quando x cresce.
– Desenhe três planos de corte: y=0, y=1 e um valor intermediário (por exemplo y=1/2) projetados no espaço, cada curva de interseção com z=1-x é uma reta inclinada em x.
– Una essas curvas para formar o “teto” inclinado sobre a base R_{1}.

Passo 4

Determinar e esboçar a região R_{2} para
0 \le x \le 1, \quad 0 \le y \le 1 - x^{2}.
Aqui a fronteira superior é a parábola vertical y=1-x^{2}. Para desenhar:
– No plano xy, trace de x=0 a x=1 a curva y=1-x^{2}.
– O eixo y=0 é a fronteira inferior.
– Sombreie a região abaixo da parábola até o eixo y=0.

Passo 5

Esboçar o sólido sobre R_{2}:
– A base é o sombreamento de R_{2} no plano xy.
– A tampa é novamente o plano z=1-x.
– Em cada x fixo, o corte vertical pela reta paralela a y mostra um retângulo de altura 1-x e largura y de 0 a 1-x^{2}.
– Desenhe linhas de contorno no plano xy e eleve cada ponto até z=1-x para completar o esboço do sólido.

Resposta

Os dois sólidos são regiões sob o mesmo plano inclinado z=1-x mas com bases diferentes:
(a) Base R_{1} limitada por x=\sqrt y-1 e x=y-y^{3} para 0\le y\le1.
(b) Base R_{2} limitada pela parábola y=1-x^{2} para 0\le x\le1.
Em cada caso, basta desenhar a região de base no plano xy e depois levantar o plano z=1-x sobre ela.

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