O potencial a uma certa distância de uma carga puntiforme é igual a 600[\mathrm{~V}] e o campo elétrico é igual a 200[\mathrm{~N} / \mathrm{C}]. (a) Qual a distância desse ponto à carga puntiforme? (b) qual o valor da carga? Re: (a) d=3[\mathrm{~m}]; (b) q=2,0 \times 10^{-7}[\mathrm{C}].

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • Informação: o potencial elétrico em certo ponto é \;600\;[\mathrm{V}].
  • Informação: o campo elétrico nesse mesmo ponto é \;200\;[\mathrm{N}/\mathrm{C}].
  • Informação: as grandezas são devido a uma carga puntiforme (isto é, carga isolada tratada como concentrada em um ponto).
  • Pergunta (a): qual a distância desse ponto à carga puntiforme?
  • Pergunta (b): qual o valor da carga?

Passo 2

Vamos lembrar as fórmulas básicas para uma carga puntiforme e o que cada símbolo significa.
  • O potencial elétrico devido a uma carga puntiforme é dado por
V = \dfrac{k\,q}{r},
onde:
  • \;V\; é o potencial elétrico (em volts, \mathrm{V}),
  • \;k\; é a constante eletrostática (no vácuo \;k \approx 8{,}99\times10^{9}\;[\mathrm{N\,m^{2}/C^{2}}]; para contas rápidas usamos \;k\approx 9{,}0\times10^{9}),
  • \;q\; é a carga pontual (em coulombs, \mathrm{C}),
  • \;r\; é a distância entre a carga e o ponto onde se mede o potencial (em metros, \mathrm{m}).
  • O módulo do campo elétrico radial devido a uma carga puntiforme é
E = \dfrac{k\,q}{r^{2}},
onde:
  • \;E\; é o módulo do campo elétrico (em \mathrm{N/C}),
  • os outros símbolos são os mesmos acima.
Explicação curta: as duas fórmulas vêm da lei de Coulomb; o campo é a força por unidade de carga e o potencial é a energia por unidade de carga. Para uma carga puntiforme ambas dependem de q e de potências de r.

Passo 3

Observação útil (muito prática na prova): se você dividir a expressão do potencial pela do campo, ocorre um cancelamento que elimina q e k, deixando apenas r. Façamos isso para obter uma forma simples para a distância.
Dividindo \;V=\dfrac{kq}{r} por \;E=\dfrac{kq}{r^{2}} temos
\frac{V}{E}=\frac{\dfrac{kq}{r}}{\dfrac{kq}{r^{2}}}=\frac{kq}{r}\cdot\frac{r^{2}}{kq}=r.
Portanto a relação útil é
r=\frac{V}{E}.
Isso é muito prático: para uma carga pontual, a razão potencial sobre campo dá diretamente a distância.

Passo 4

Agora aplicamos os números fornecidos.
Temos \;V=600\;[\mathrm{V}] e \;E=200\;[\mathrm{N}/\mathrm{C}]. Logo
r=\frac{V}{E}=\frac{600}{200}=3.
O resultado tem unidade de metros porque \mathrm{V}/(\mathrm{N/C}) = \mathrm{J/C}\div(\mathrm{N/C})=(\mathrm{N\cdot m}/\mathrm{C})\div(\mathrm{N/C})=\mathrm{m}. Assim a distância é \;3\;[\mathrm{m}].

Passo 5

Agora vamos achar a carga \;q. Podemos usar qualquer uma das fórmulas originais; vou usar \;V=\dfrac{kq}{r} e resolver para \;q:
q=\frac{V\,r}{k}.
Substituímos \;V=600, \;r=3 e \;k\approx 9{,}0\times10^{9}\;[\mathrm{N\,m^{2}/C^{2}}] para facilitar a conta sem calculadora:
q=\frac{600\cdot 3}{9{,}0\times10^{9}}=\frac{1800}{9{,}0\times10^{9}}.
Agora simplificamos: \;1800/9{,}0=200, e \;200/(10^{9})=200\times10^{-9}=2{,}0\times10^{-7}. Logo
q=2{,}0\times10^{-7}\;[\mathrm{C}].
Observação: se usássemos k=8{,}99\times10^{9} o resultado seria praticamente o mesmo, q\approx 2{,}002\times10^{-7}\,\mathrm{C}, ou seja a diferença é desprezível para nosso nível de precisão.

Passo 6

Resumo conceitual rápido para a prova (dica amiga): em problemas com carga pontual, memoriza as duas fórmulas
V=\frac{kq}{r}\quad\text{e}\quad E=\frac{kq}{r^{2}}.
Se tiver os dois ao mesmo tempo, usar \;r=V/E costuma ser o jeito mais rápido. Depois desvende q por q=Vr/k ou q=Er^{2}/k.
Força motivadora: você já resolveu — respira — a parte algébrica é simples quando a relação entre V e E aparece.

Resposta

d=3\;[\mathrm{m}]
q=2{,}0\times10^{-7}\;[\mathrm{C}]

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