Duas superfícies são chamadas de ortogonais em um ponto de interseção se as suas retas normais são perpendiculares neste ponto. Mostre que superfícies com equações F(x, y, z)=0 e G(x, y, z)=0 são ortogonais no ponto P, em que nabla F neq 0 e nabla G neq 0 se, e somente se,
Fx Gx+Fy Gy+Fz Gz=0
no ponto P.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que duas superfícies dadas por F(x,y,z)=0 e G(x,y,z)=0 são ortogonais em P — isto é, suas retas normais em P são perpendiculares — se, e somente se, o produto escalar dos gradientes em P for zero: F_x G_x + F_y G_y + F_z G_z = 0. Vamos usar que o gradiente de uma função é perpendicular à superfície de nível.

Passo 2

Para cada superfície, lembramos que o vetor normal à superfície F(x,y,z)=0 em P é dado pelo gradiente ∇F§, e de modo análogo a normal à superfície G(x,y,z)=0 em P é ∇G§. Explicitamente, fazemos
∇F(P) = (Fx(P),,Fy(P),,Fz(P)),
∇G(P) = (Gx(P),,Gy(P),,Gz(P))

Passo 3

Duas retas com direções dadas por vetores v e w são perpendiculares exatamente quando o produto escalar v·w = 0. Aqui, as retas normais são paralelas a ∇F§ e ∇G§, então elas são perpendiculares se, e somente se,
∇F(P) cdot ∇G(P) = 0

Passo 4

Mas o produto escalar dos gradientes é justamente
∇F(P) cdot ∇G(P) = Fx(P)Gx(P) + Fy(P)Gy(P) + Fz(P)Gz(P)
Portanto, as superfícies são ortogonais em P se, e somente se, F_x G_x + F_y G_y + F_z G_z = 0 em P.

Resposta

As superfícies são ortogonais em P se, e somente se, em P valer: F_x G_x + F_y G_y + F_z G_z = 0.

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