Duas superfícies são chamadas de ortogonais em um ponto de interseção se as suas retas normais são perpendiculares neste ponto. Mostre que superfícies com equações
e
são ortogonais no ponto
, em que
e
se, e somente se,
no ponto
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que duas superfícies dadas por F(x,y,z)=0 e G(x,y,z)=0 são ortogonais em P — isto é, suas retas normais em P são perpendiculares — se, e somente se, o produto escalar dos gradientes em P for zero: F_x G_x + F_y G_y + F_z G_z = 0. Vamos usar que o gradiente de uma função é perpendicular à superfície de nível.
Passo 2
Para cada superfície, lembramos que o vetor normal à superfície F(x,y,z)=0 em P é dado pelo gradiente ∇F§, e de modo análogo a normal à superfície G(x,y,z)=0 em P é ∇G§. Explicitamente, fazemos
Passo 3
Duas retas com direções dadas por vetores v e w são perpendiculares exatamente quando o produto escalar v·w = 0. Aqui, as retas normais são paralelas a ∇F§ e ∇G§, então elas são perpendiculares se, e somente se,
Passo 4
Mas o produto escalar dos gradientes é justamente
Portanto, as superfícies são ortogonais em P se, e somente se, F_x G_x + F_y G_y + F_z G_z = 0 em P.
Resposta
As superfícies são ortogonais em P se, e somente se, em P valer: F_x G_x + F_y G_y + F_z G_z = 0.