Mostre que a superfície x^2-2 y z+y^3=4 é perpendicular à qualquer superfície na família x^2+1= (2-4 a) y^2+a z^2 no ponto de interseção (1,-1,2).

Passo 1

Neste exercício temos a superfície de nível
F(x,y,z)=x^2-2yz+y^3-4=0
e a família de superfícies
G(x,y,z)=x^2+1-(2-4a)y^2 - a z^2=0
Precisamos mostrar que elas são perpendiculares em P=(1,-1,2), ou seja, que seus vetores normais (gradientes) são ortogonais ali.

Passo 2

Lembra que o vetor gradiente de uma função H(x,y,z) é
nabla H=l(partial Hpartial x,partial Hpartial y,partial Hpartial zr)
e que, para superfícies de nível H=0, nabla H é normal à superfície. Duas superfícies são perpendiculares se

Passo 3

Para
F(x,y,z)=x^2-2yz+y^3-4
calculamos
nabla F=l(2x,;-2z+3y^2,;-2yr)

Passo 4

Para a família
dada por
G(x,y,z)=x^2+1-(2-4a)y^2 - a z^2
temos
nabla G=l(2x,;-2(2-4a)y,;-2a zr)

Passo 5

Agora avaliamos ambos em P=(1,-1,2):
nabla F(1,-1,2)=(2,,-4+3,,2)=(2,-1,2),
nabla G(1,-1,2)=(2,,2(2-4a),,-4a)=(2,4-8a,-4a)

Passo 6

Fazendo o produto escalar:
(2,-1,2)cdot(2,4-8a,-4a)=2cdot2+(-1)(4-8a)+2(-4a)=4-4+8a-8a=0
Como isso vale para todo a, os gradientes são ortogonais em P e, portanto, as superfícies são perpendiculares naquele ponto.

Resposta

As superfícies são perpendiculares em (1,-1,2) porque nabla F(1,-1,2)cdotnabla G(1,-1,2)=0 para qualquer valor de a.

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