Mostre que a superfície
é perpendicular à qualquer superfície na família
no ponto de interseção
.
Passo 1
Neste exercício temos a superfície de nível
e a família de superfícies
Precisamos mostrar que elas são perpendiculares em P=(1,-1,2), ou seja, que seus vetores normais (gradientes) são ortogonais ali.
Passo 2
Lembra que o vetor gradiente de uma função
é
e que, para superfícies de nível
,
é normal à superfície. Duas superfícies são perpendiculares se
Passo 3
Para
calculamos
Passo 4
Para a família
dada por
dada por
temos
Passo 5
Agora avaliamos ambos em P=(1,-1,2):
Passo 6
Fazendo o produto escalar:
Como isso vale para todo
, os gradientes são ortogonais em P e, portanto, as superfícies são perpendiculares naquele ponto.
Resposta
As superfícies são perpendiculares em (1,-1,2) porque
para qualquer valor de
.