Duas superfícies F(x, y, z)=0 e G(x, y, z)=0 são ortogonais em um ponto comum P0, no qual nabla F neq 0 e nabla G neq 0, quando nabla F(P0) nabla G(P0)=0; nesse caso suas retas normais em Po são ortogonais; Mostre que a superfície x^2-2 y z+y^3=4 é ortogonal a todo membro da família: x^2+(4 c-2) y^2-c z^2+1=0, forall c in R, em seu ponto comum (1,-1,2);

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a superfície F(x,y,z)=x^2-2yz+y^3-4=0 é ortogonal a cada membro da família Gc(x,y,z)=x^2+(4c-2)y^2-cz^2+1=0 no ponto comum P0=(1,-1,2). O conteúdo envolve cálculo de gradientes e aplicação da condição de ortogonalidade de superfícies, que diz que duas superfícies são ortogonais em P0 se nabla F(P0)cdotnabla G(P0)=0.

Passo 2

Vamos primeiro verificar que P0 pertence a ambas as superfícies, substituindo em F e em Gc.
Substituindo em F:
F(1,-1,2)=1^2-2cdot(-1)cdot2+(-1)^3-4=1+4-1-4=0, logo P0 satisfaz F=0.
Substituindo em Gc:
Gc(1,-1,2)=1^2+(4c-2)cdot(-1)^2-ccdot2^2+1=1+(4c-2)-4c+1=0, o que mostra que P0 também satisfaz Gc=0 para todo c.

Passo 3

Calculamos agora o gradiente de F:
nabla F(x,y,z)=l(2x, -2z+3y^2, -2yr) Em P0=(1,-1,2) temos
nabla F(1,-1,2)=(2,,-2cdot2+3cdot(-1)^2,,-2cdot(-1))=(2,-1,2)

Passo 4

O gradiente de Gc é
nabla Gc(x,y,z)=l(2x, 2(4c-2)y, -2czr) Em P0=(1,-1,2) isso dá
nabla Gc(1,-1,2)=(2,2(4c-2)(-1),-2ccdot2)=(2,-8c+4,-4c)

Passo 5

Por fim, o produto escalar é
nabla F(1,-1,2)cdotnabla Gc(1,-1,2)=2cdot2+(-1)(-8c+4)+2(-4c)=4+(8c-4)-8c=0 Como o resultado é zero para todo c, as normais são perpendiculares.
Portanto, pelas definições, as superfícies são ortogonais em P0.

Resposta

Como o produto escalar dos gradientes em P0 é zero para todo c, concluímos que as superfícies são ortogonais em P0=(1,-1,2).

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