Duas superfícies
são ortogonais em um ponto comum
, no qual
e
, quando
; nesse caso suas retas normais em Po são ortogonais; Mostre que a superfície
é ortogonal a todo membro da família:
,
, em seu ponto comum
;
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a superfície
é ortogonal a cada membro da família
no ponto comum
. O conteúdo envolve cálculo de gradientes e aplicação da condição de ortogonalidade de superfícies, que diz que duas superfícies são ortogonais em
se
.
Passo 2
Vamos primeiro verificar que
pertence a ambas as superfícies, substituindo em
e em
.
Substituindo em :
Substituindo em
Substituindo em
:
Passo 3
Calculamos agora o gradiente de
:
Passo 4
O gradiente de
é
Passo 5
Por fim, o produto escalar é
Portanto, pelas definições, as superfícies são ortogonais em
.
Resposta
Como o produto escalar dos gradientes em
é zero para todo
, concluímos que as superfícies são ortogonais em
.