Mostre que todos os planos tangentes à superfície z=x f(yx), f diferenciável, passam pela origem;

Passo 1

Vamos mostrar que o termo independente do plano tangente é sempre zero, o que garante que ele passe pela origem.

Passo 2

Primeiro, definimos a superfície como
z = x,fl(ur), u = yx
e vamos precisar calcular as derivadas parciais zx e zy usando regra do produto e cadeia.

Passo 3

Para zx, note que z = x f(u) e u = y/x. Aplicando produto e cadeia:
partial zpartial x = f(u) + x f'(u)partial upartial x = f(u) + x f'(u)l(-yx^2r) = f(u) - u f'(u)
Para zy, temos apenas a cadeia em u:
partial zpartial y = x f'(u)partial upartial y = x f'(u)1x = f'(u)

Passo 4

A equação do plano tangente em (x0,y0,z0) é
z - z0 = zx(x0,y0),(x - x0) + zy(x0,y0),(y - y0)
Como z0 = x0 f(u0), u0 = y0/x0, substituímos as derivadas:
z - x0f(u0) = l(f(u0)-u0f'(u0)r)(x-x0) + f'(u0)(y-y0)

Passo 5

Basta ver que o termo independente (constante) dessa equação é
x0f(u0) - (f(u0)-u0f'(u0))x0 - f'(u0)y0 = x0u0f'(u0) - y0f'(u0) = f'(u0)(u0x0 - y0) = 0
pois y0 = u0x0. Logo o plano não tem termo constante e passa pela origem.

Resposta

Todos os planos tangentes passam pela origem.

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