Mostre que todos os planos tangentes à superfície
diferenciável, passam pela origem;
Passo 1
Vamos mostrar que o termo independente do plano tangente é sempre zero, o que garante que ele passe pela origem.
Passo 2
Primeiro, definimos a superfície como
e vamos precisar calcular as derivadas parciais
e
usando regra do produto e cadeia.
Passo 3
Para
, note que
e
. Aplicando produto e cadeia:
Para
, temos apenas a cadeia em
:
Passo 4
A equação do plano tangente em
é
Como
,
, substituímos as derivadas:
Passo 5
Basta ver que o termo independente (constante) dessa equação é
pois
. Logo o plano não tem termo constante e passa pela origem.
Resposta
Todos os planos tangentes passam pela origem.