Duas superfícies F(x, y, z)=0, G(x, y, z)=0 são tangentes em um ponto comum P0, no qual nabla F neq 0 e nabla G neq 0, quando existe lambda in R-0 tal que: VF(P0)=lambda nabla G(P0); nesse caso elas têm o mesmo plano tangente em P0; Mostre que: x^2+y^2+z^2=a^2 e(x-b)^2+y^2+z^2=(b-a)^2 são tangentes em (a, 0, 0) ; 0;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as superfícies
F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-a^2=0
e
G(x,y,z)=(x-b)^2+y^2+z^2-(b-a)^2=0
são tangentes no ponto P0=(a,0,0). O conteúdo envolvido é plano tangente a superfícies e a condição de tangência via paralelismo de gradientes: duas superfícies são tangentes em P0 se existe lambdaneq0 tal que nabla F(P0)=lambda,nabla G(P0).

Passo 2

Para calcular o gradiente de F, lembramos que
nabla F(x,y,z)=l(partial Fpartial x,partial Fpartial y,partial Fpartial zr)
e como F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-a^2, temos
nabla F(x,y,z)=(2x,2y,2z)

Passo 3

De modo análogo, para
G(x,y,z)=(x-b)^2+y^2+z^2-(b-a)^2
calculamos
nabla G(x,y,z)=(2(x-b),2y,2z)

Passo 4

Agora avaliamos os gradientes em P0=(a,0,0):
nabla F(a,0,0)=(2a,0,0),
nabla G(a,0,0)=(2(a-b),0,0)

Passo 5

Para verificar o paralelismo, buscamos lambda tal que
(2a,0,0)=lambda,(2(a-b),0,0)
Comparando a primeira componente, vem
2a=2lambda(a-b) Longrightarrow lambda=aa-b=-ab-aneq0
Como existe lambdaneq0 que satisfaz essa igualdade, concluímos que nabla F(P0) e nabla G(P0) são paralelos, logo as superfícies têm o mesmo plano tangente em P0.

Resposta

As superfícies são tangentes em (a,0,0) porque
nabla F(a,0,0)=(2a,0,0)=l(-tfracab-ar),(2(a-b),0,0)=lambda,nabla G(a,0,0),
com lambda=-a/(b-a)neq0.

Exercícios relacionados