Duas superfícies
são tangentes em um ponto comum
, no qual
e
, quando existe
tal que:
; nesse caso elas têm o mesmo plano tangente em
; Mostre que:
são tangentes em
;
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as superfícies
e
são tangentes no ponto
. O conteúdo envolvido é plano tangente a superfícies e a condição de tangência via paralelismo de gradientes: duas superfícies são tangentes em
se existe
tal que
.
Passo 2
Para calcular o gradiente de
, lembramos que
e como
, temos
Passo 3
De modo análogo, para
calculamos
Passo 4
Agora avaliamos os gradientes em
:
Passo 5
Para verificar o paralelismo, buscamos
tal que
Comparando a primeira componente, vem
Como existe
que satisfaz essa igualdade, concluímos que
e
são paralelos, logo as superfícies têm o mesmo plano tangente em
.
Resposta
As superfícies são tangentes em
porque
com