Resolva:
(d) sen 3 x-2 sen 2 x+sen x=0

Passo 1

Vamos resolver a equação trigonométrica sen 3x - 2 sen 2x + sen x = 0. Para isso, vamos utilizar identidades trigonométricas que nos ajudam a simplificar a expressão. Precisamos conhecer as fórmulas de senos de múltiplos e como fatorar expressões trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever sen 3x e sen 2x usando as identidades de senos de múltiplos:
sen 3x = 3 sen x - 4 sen^3 x
sen 2x = 2 sen x cos x
Substituindo essas expressões na equação original:
3 sen x - 4 sen^3 x - 2 times 2 sen x cos x + sen x = 0

Passo 3

Vamos simplificar os termos:
3 sen x - 4 sen^3 x - 4 sen x cos x + sen x = 0
Somando os termos semelhantes:
(3 sen x + sen x) - 4 sen^3 x - 4 sen x cos x = 0
4 sen x - 4 sen^3 x - 4 sen x cos x = 0

Passo 4

Vamos fatorar o termo comum 4 sen x:
4 sen x (1 - sen^2 x - cos x) = 0
Sabemos que sen^2 x + cos^2 x = 1, então 1 - sen^2 x = cos^2 x. Substituindo:
4 sen x (cos^2 x - cos x) = 0

Passo 5

Vamos fatorar cos x na expressão dentro dos parênteses:
4 sen x cos x (cos x - 1) = 0
Agora, temos três fatores que podem ser iguais a zero:
sen x = 0 ou cos x = 0 ou cos x - 1 = 0

Passo 6

Vamos resolver cada equação separadamente:
  1. sen x = 0:
    x = kpi, k in Z
  2. cos x = 0:
    x = pi2 + kpi, k in Z
  3. cos x - 1 = 0:
    cos x = 1 implies x = 2kpi, k in Z

Resposta

As soluções da equação sen 3x - 2 sen 2x + sen x = 0 são:
x = kpi e x = pi2 + kpi, onde k in Z

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