Duas v.as X e Y tem uma função densidade de probabilidade conjunta dada por : fXY(x, y)=(3 / 16) x^2 y ; 0 e 0 e 0 c. c. . Determine :
Fxy(1 ; 1)=PX <= 1 ; Y <= 1

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos duas variáveis aleatórias X e Y com densidade conjunta
fXY(x,y) = 316 , x^2 , y, 0
A questão pede a função de distribuição conjunta em (1,1):
FXY(1;1) = PX<=1,;Y<=1
Conteúdo: probabilidade de variáveis contínuas e CDF (função de distribuição acumulada). Para resolver, vamos usar que
FXY(a,b) = integraly=0^b!!integralx=0^a fXY(x,y),dx,dy,
ou seja, uma integral dupla da densidade.

Passo 2

Escrevendo a integral que dá o CDF em (1,1):
FXY(1;1) = integraly=0^1 !!integralx=0^1 316,x^2,y ;dx,dy
Aqui a ideia é “varrer” todos os x de 0 a 1 e todos os y de 0 a 1, somando (integrando) a densidade.

Passo 3

Vamos calcular passo a passo. Primeiro, puxo a constante FXY(1;1) = 316 integraly=0^1!!integralx=0^1 x^2,y ;dx,dy pra fora:
integral0^1 x^2 ,dx = [x^33]0^1 = 13
Agora, como integral0^1 y ,dy = [y^22]0^1 = 12 separa em função de FXY(1;1) = 316 ;times;13;times;12 = 316cdot16 = 396 = 132 vezes função de , dá pra fazer a integral em e em separadamente:
  1. Integral em :
  2. Integral em :
Multiplicando tudo junto:

Resposta

FXY(1;1) = 132

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