(1 ponto) Considere X^- N(theta, 1) a sua fidp é dada por:
f(x mid theta)=1raiz2 pi exp [-12(x-theta)^2]
Mostre que theta ¢ un parametro de locação, ou seja, f(x mid theta)=g(x-theta), onde y=x-theta.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma variável aleatória f(x mid theta) =1raiz2piexpl[-tfrac12(x-theta)^2r] com distribuição normal de média f(x mid theta)=g(x-theta), e variância 1, cujo pdf é
A tarefa é mostrar que é um parâmetro de locação, ou seja, provar que essa densidade pode ser escrita como
onde é uma função que não depende de além de aparecer em .
Conteúdo: parâmetro de locação e mudança de variável simples.

Passo 2

Primeiro, bora lembrar o que é parâmetro de locação. Um parâmetro f(x mid theta) =1raiz2pi exp!l[-tfrac12(x-theta)^2r] é de locação quando a função densidade pode ser escrita como y = x - theta . Isso significa que, ao variar , a forma da curva não muda – ela só “desliza” para a direita ou para a esquerda no eixo .
Agora olha o nosso :
Repara que e só aparecem dentro de . Então é natural definir uma nova variável
Não estamos fazendo mudança de variável de integração, só ilustrando que tudo depende de e só através de .

Passo 3

Se f(x mid theta) =1raiz2pi exp!l[-tfrac12,y^2r] , podemos reescrever a densidade como
g(y) ;=;1raiz2pi,exp!l[-tfrac12,y^2r]
Note que o lado direito não tem mais explícito – só .
Logo, basta definir

Resposta

boxedf(x mid theta)=g(x-theta), com g(y)=1raiz2piexp!l(-tfrac12y^2r)
Isso mostra que é um parâmetro de locação.

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