( 2 pontos) Suponha que oito observações de uma variável aleatória de distribuição N(mu, sigma^2), cujo os valores sāo: 3.1,3.5,2.6,3.4,3.8,3.0,2.9, and 2.2. Encontre:
a) A variável pivotal para determinar um intervalo de 95 % de confiança para a média mu.
b) A variável pivotal para determinar os intervalos de 99 % de confiança para variância sigma^2.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos oito observações de uma variável que segue uma distribuição normal, representada por N(mu, sigma^2). O objetivo é encontrar variáveis pivôs que nos ajudem a determinar intervalos de confiança para a média mu e para a variância sigma^2.
Para resolver isso, precisamos lembrar alguns conceitos básicos de estatística, como média amostral, variância amostral e as distribuições associadas a elas (como a distribuição t de Student e a distribuição qui-quadrado). Vamos passo a passo para entender como montar esses intervalos de confiança.

Passo 2

Vamos começar com a parte a), onde precisamos encontrar a variável pivotal para determinar um intervalo de 95% de confiança para a média mu.
Quando queremos estimar a média de uma população cujo desvio padrão sigma é desconhecido, usamos a distribuição t de Student. A variável pivotal nesse caso é baseada na média amostral, na variância amostral e na distribuição t.
A média amostral ( barx) é dada pela soma de todas as observações dividida pelo número de observações. A variância amostral ( s^2) calcula a dispersão dos dados em relação à média.
A variável pivotal que utilizamos é:
t = barx - mus / raizn
Essa variável segue uma distribuição t com n-1 graus de liberdade.

Passo 3

Para construir o intervalo de confiança de 95% para mu, usamos a seguinte fórmula:
barx pm talpha/2 times sraizn
Onde:
  • barx é a média amostral,
  • talpha/2 é o valor crítico da distribuição t para um nível de confiança de 95% e n-1 graus de liberdade,
  • s é a variância amostral,
  • n é o número de observações.

Passo 4

Agora, vamos para a parte b), onde precisamos encontrar a variável pivotal para determinar os intervalos de 99% de confiança para a variância sigma^2.
Nesse caso, utilizamos a distribuição qui-quadrado ( chi^2). A variável pivotal é baseada na variância amostral e na distribuição qui-quadrado.
A variável pivotal é:
chi^2 = (n-1)s^2sigma^2
Essa variável segue uma distribuição qui-quadrado com n-1 graus de liberdade.

Resposta

a) A variável pivotal para determinar um intervalo de 95 % de confiança para a média mu é:
t = barx - mus / raizn
b) A variável pivotal para determinar o intervalo de 99 % de confiança para a variância sigma^2 é:
chi^2 = (n-1)s^2sigma^2

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