( 2 pontos) Suponha que oito observações de uma variável aleatória de distribuição
, cujo os valores sāo:
, and 2.2. Encontre:
a) A variável pivotal para determinar um intervalo de
de confiança para a média
.
b) A variável pivotal para determinar os intervalos de
de confiança para variância
.
a) A variável pivotal para determinar um intervalo de
b) A variável pivotal para determinar os intervalos de
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos oito observações de uma variável que segue uma distribuição normal, representada por
. O objetivo é encontrar variáveis pivôs que nos ajudem a determinar intervalos de confiança para a média
e para a variância
.
Para resolver isso, precisamos lembrar alguns conceitos básicos de estatística, como média amostral, variância amostral e as distribuições associadas a elas (como a distribuição
de Student e a distribuição qui-quadrado). Vamos passo a passo para entender como montar esses intervalos de confiança.
Passo 2
Vamos começar com a parte a), onde precisamos encontrar a variável pivotal para determinar um intervalo de 95% de confiança para a média
.
Quando queremos estimar a média de uma população cujo desvio padrão
é desconhecido, usamos a distribuição
de Student. A variável pivotal nesse caso é baseada na média amostral, na variância amostral e na distribuição
.
A média amostral (
) é dada pela soma de todas as observações dividida pelo número de observações. A variância amostral (
) calcula a dispersão dos dados em relação à média.
A variável pivotal que utilizamos é:
Essa variável segue uma distribuição
com
graus de liberdade.
Passo 3
Para construir o intervalo de confiança de 95% para
, usamos a seguinte fórmula:
Onde:
-
é a média amostral, -
é o valor crítico da distribuição para um nível de confiança de 95% e graus de liberdade, -
é a variância amostral, -
é o número de observações.
Passo 4
Agora, vamos para a parte b), onde precisamos encontrar a variável pivotal para determinar os intervalos de 99% de confiança para a variância
.
Nesse caso, utilizamos a distribuição qui-quadrado (
). A variável pivotal é baseada na variância amostral e na distribuição qui-quadrado.
A variável pivotal é:
Essa variável segue uma distribuição qui-quadrado com
graus de liberdade.
Resposta
a) A variável pivotal para determinar um intervalo de 95 % de confiança para a média
é:
b) A variável pivotal para determinar o intervalo de 99 % de confiança para a variância
é: