Duas v.as X e Y tem uma função densidade de probabilidade conjunta dada por :
e
e 0 c. c. . Determine :
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos duas variáveis aleatórias X e Y com densidade conjunta
e zero caso contrário.
O que queremos é a densidade condicional
O que queremos é a densidade condicional
Isso envolve dois conceitos principais:
- marginalizar para achar
a partir de , - usar a definição de densidade condicional
Passo 2
Vamos achar primeiro a marginal
. Por definição,
porque fora de
a densidade é zero.
Calculemos a integral:
Calculemos a integral:
Então
Passo 3
Agora aplicamos a definição de condicional:
Repare que o
cancela (desde que
), e sobra
válido para
.
Passo 4
Só para conferir se está tudo certo, podemos ver se isso integra 1 em
:
Perfeito, tá normalizado.
Resposta
e zero caso contrário.