Duas v.as X e Y tem uma função densidade de probabilidade conjunta dada por : fXY(x, y)=(3 / 16) x^2 y ; 0 e 0 e 0 c. c. . Determine :
fx mid y(x mid y)

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos duas variáveis aleatórias X e Y com densidade conjunta
fXY(x,y) = 316,x^2,y, 0
e zero caso contrário.
O que queremos é a densidade condicional
fXmid Y(xmid y)
Isso envolve dois conceitos principais:
  1. marginalizar para achar fXmid Y(xmid y) = fXY(x,y)fY(y) a partir de ,
  2. usar a definição de densidade condicional

Passo 2

Vamos achar primeiro a marginal fY(y) =integral-infty^+infty fXY(x,y),dx =integral0^2316x^2,y,dx, . Por definição,
integral0^2x^2,dx =[x^33]0^2 =2^33-0 =83
porque fora de fY(y) =316,y;83 =816,y =12,y, 0 a densidade é zero.
Calculemos a integral:
Então

Passo 3

Agora aplicamos a definição de condicional:
fXmid Y(xmid y) =fXY(x,y)fY(y) =316,x^2,y12,y
Repare que o fXmid Y(xmid y) =316,x^2;1tfrac12 =316,x^2;times 2 =38,x^2, cancela (desde que ), e sobra
válido para .

Passo 4

Só para conferir se está tudo certo, podemos ver se isso integra 1 em integral0^238x^2,dx =38,x^33|0^2 =38,83 =1 :
Perfeito, tá normalizado.

Resposta

boxed fXmid Y(xmid y) =38,x^2, 0
e zero caso contrário.

Exercícios relacionados