Duas v.as X e Y tem uma função densidade de probabilidade conjunta dada por : fXY(x, y)=(3 / 16) x^2 y ; 0 e 0 e 0 c. c. . Determine :
Fx mid y(1,5 mid 1)=PX <= 1,5 mid Y=1

Passo 1

Tranquilo, vamos lá! O enunciado diz que temos duas variáveis aleatórias X e Y com densidade conjunta
fXY(x,y)=316,x^2ypara 0
A tarefa é achar a função de distribuição condicional
FXmid Y(1,5mid 1)=PX<=1,5mid Y=1
Isso cai em teoria de variáveis conjuntas: primeiro a gente calcula a densidade marginal de Y, depois a densidade condicional de X dado Y, e por fim integra até 1,5 para obter a CDF condicional.

Passo 2

Primeiro manda bala na densidade marginal de Y, fY(y);=;integral0^2 fXY(x,y),dx =integral0^2316,x^2,y,dx . A ideia é “somar” (integrar) a densidade conjunta sobre todos os valores de X:
integral0^2x^2,dx = [x^33]0^2 = 83
Calculemos a integral:
fY(y)=316,ycdot83=8y16=y2, 0
Então

Passo 3

Agora usamos a definição de densidade condicional:
fXmid Y(xmid y) =fXY(x,y)fY(y)
No nosso caso, para fXmid Y(xmid 1) =316x^2cdot112 =316x^2;times;2 =38x^2, 0:

Passo 4

A CDF condicional é
FXmid Y(1,5mid 1) =integral0^1.5fXmid Y(xmid 1),dx =integral0^1.538x^2,dx
Resolva a integral:
integral0^1.5x^2,dx = [x^33]0^1.5 =(1.5)^33 =3.3753=1.125
Multiplicando pelo FXmid Y(1.5mid1) =38times1.125 =0.421875 :

Resposta

FXmid Y(1,5mid 1)=0.421875l(ou 27/64r)

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