Duas v.as X e Y tem uma função densidade de probabilidade conjunta dada por :
e
e 0 c. c. . Determine :
Passo 1
Tranquilo, vamos lá! O enunciado diz que temos duas variáveis aleatórias X e Y com densidade conjunta
A tarefa é achar a função de distribuição condicional
Isso cai em teoria de variáveis conjuntas: primeiro a gente calcula a densidade marginal de Y, depois a densidade condicional de X dado Y, e por fim integra até 1,5 para obter a CDF condicional.
Passo 2
Primeiro manda bala na densidade marginal de Y,
. A ideia é “somar” (integrar) a densidade conjunta sobre todos os valores de X:
Calculemos a integral:
Então
Passo 3
Agora usamos a definição de densidade condicional:
No nosso caso, para
:
Passo 4
A CDF condicional é
Resolva a integral:
Multiplicando pelo
: