De uma população X sim N(50,100) retira-se uma amostra de dez elementos e calculam-se os valores de sigmastar^2 e S^2. Encontre os valores pedidos abaixo, com a maior precisão possível.
P(S^2<18)=alpha, encontre alpha.

Passo 1

O enunciado diz que alpha = Pl(S^2 < 18r) é normal com média 50 e variância 100, e a gente tirou uma amostra de tamanho (n-1),S^2sigma^2 . A partir dessa amostra calculou-se a variância amostral . O que pedem é
Esse problema cai em Distribuições Amostrais: para uma amostra de uma normal, a estatística
segue uma qui-quadrado com graus de liberdade. Vamos usar isso passo a passo.

Passo 2

Definição e teoria envolvida:
  1. A variância amostral não-viesada é
S^2 = 1n-1sumi=1^n(Xi - bar X)^2
  1. Se chi^2 = (n-1),S^2sigma^2 sim chi^2,n-1 iid, então
No nosso caso, e , logo .

Passo 3

Vamos transformar o evento P(S^2<18) = P!l((n-1),S^2sigma^2 < 9cdot 18100r) = Pl(chi^29 < 1.62r) numa probabilidade de qui-quadrado:

Passo 4

Basta agora ver na tabela (ou usar software/R/Python) o valor de
.
Em R, por exemplo, você faria
pchisq(1.62, df=9)
e obtém algo em torno de 0.006 a 0.008.

Resposta

alpha = Pl(S^2<18r) = Pl(chi^29 < 1.62r) approx 0.007

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