- Duas torres têm, respectivamente, 5 m e 3 m de altura e estão separadas por uma distância de 15 m . Um cabo-guia deve ser estendido do ponto A (no chão), localizado entre duas torres, até o topo de cada uma delas. Localize o ponto A, de modo que o comprimento total de cabo seja mínimo. Obs.:
.
Passo 1
O enunciado trata de duas torres de alturas
e
, separadas por
. Queremos localizar um ponto
no chão, entre as torres, de modo que o comprimento total do cabo
seja mínimo. Vamos usar otimização de função pela derivada.
Passo 2
Sejam
a distância de
até a base da torre de
e
até a base da torre de
. Então
com
.
Passo 3
Para achar o mínimo, calculamos a derivada e igualamos a zero:
logo a condição crítica é
Passo 4
Elevando os dois lados ao quadrado e simplificando, obtemos
Passo 5
Resolvendo
Como
, fica
.
Passo 6
Concluímos que o ponto
que minimiza o comprimento total do cabo está a
da base da torre de
(e, portanto, a da base da torre de
).
(e, portanto, a
Resposta
O ponto
deve ficar a
da base da torre de
.