1. Duas torres têm, respectivamente, 5 m e 3 m de altura e estão separadas por uma distância de 15 m . Um cabo-guia deve ser estendido do ponto A (no chão), localizado entre duas torres, até o topo de cada uma delas. Localize o ponto A, de modo que o comprimento total de cabo seja mínimo. Obs.: raiz202500=450.

Passo 1

O enunciado trata de duas torres de alturas ,5,m e ,3,m, separadas por ,15,m. Queremos localizar um ponto A no chão, entre as torres, de modo que o comprimento total do cabo
L = distância(A,topo de 5,m) + distância(A,topo de 3,m) ââ
seja mínimo. Vamos usar otimização de função pela derivada.

Passo 2

Sejam x a distância de A até a base da torre de 5,m e 15 - x até a base da torre de 3,m. Então
L(x) = raizx^2 + 5^2 + raiz(15 - x)^2 + 3^2 = raizx^2 + 25 + raiz(15 - x)^2 + 9,
com xin[0,15].

Passo 3

Para achar o mínimo, calculamos a derivada e igualamos a zero:
L'(x) = ddxl(raizx^2+25r) + ddxl(raiz(15-x)^2+9r) = xraizx^2+25 - 15 - xraiz(15 - x)^2+9,
logo a condição crítica é
xraizx^2+25 = 15 - xraiz(15 - x)^2+9

Passo 4

Elevando os dois lados ao quadrado e simplificando, obtemos
x^2l((15 - x)^2 + 9r) = (15 - x)^2(x^2 + 25) Longrightarrow 16,x^2 - 750,x + 5625 = 0

Passo 5

Resolvendo
De<a = 750^2 - 4cdot16cdot5625 = 202500, raizDe<a=450,
x = 750 pm 4502cdot16 = 750 pm 45032 ;Longrightarrow; x = 9,375ou x = 37,5
Como xin[0,15], fica x=9,375.

Passo 6

Concluímos que o ponto A que minimiza o comprimento total do cabo está a
,9,375,m da base da torre de ,5,m
(e, portanto, a ,5,625,m da base da torre de ,3,m).

Resposta

O ponto A deve ficar a 9,375,m da base da torre de 5,m.

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