Encontre o domínio maximal da função com regra
. Esta função é invertível? Em caso positivo, qual a sua inversa?
Passo 1
O enunciado pede o domínio maximal da função
e pergunta se ela é invertível e, em caso afirmativo, qual é a sua inversa. Para isso vamos (
) determinar onde a função está bem definida, (
) verificar se ela é injetora (por monotonicidade) e (
) resolver a equação
para encontrar
.
Passo 2
Para a função estar definida basta que o denominador seja diferente de zero. Logo,
Portanto o domínio maximal é
Passo 3
Para ver se
é injetora, calculemos a derivada:
Como
para todo
, temos
em cada ramo do domínio, ou seja,
é estritamente decrescente em
e em
. Além disso, os valores que
assume em cada ramo não se sobrepõem:
- em ,
,
- em ,
.
Logo não repete valores e é injetora em
, isto é, é invertível.
- em
- em
Logo
Passo 4
Para achar a inversa, escrevemos
e resolvemos em
. Multiplicando em ambos os lados por
:
Logo, desde que
,
Trocar o papel de
e
dá a expressão da inversa:
com domínio
.
Resposta
Domínio:
.
Sim, é invertível em
e
Sim,