Encontre o domínio maximal da função com regra f(x)=x+1x-1. Esta função é invertível? Em caso positivo, qual a sua inversa?

Passo 1

O enunciado pede o domínio maximal da função
f(x)=x+1x-1
e pergunta se ela é invertível e, em caso afirmativo, qual é a sua inversa. Para isso vamos ( 1) determinar onde a função está bem definida, ( 2) verificar se ela é injetora (por monotonicidade) e ( 3) resolver a equação y=(x+1)/(x-1) para encontrar f^-1.

Passo 2

Para a função estar definida basta que o denominador seja diferente de zero. Logo,
x-1 neq 0 Longrightarrow x neq 1
Portanto o domínio maximal é
Rsetminus1

Passo 3

Para ver se f é injetora, calculemos a derivada:
f'(x) =(1)(x-1)-(x+1)(1)(x-1)^2 =x-1-x-1(x-1)^2 =-2(x-1)^2
Como (x-1)^2>0 para todo xneq1, temos f'(x)<0 em cada ramo do domínio, ou seja, f é estritamente decrescente em (- infty,1) e em (1,infty). Além disso, os valores que f assume em cada ramo não se sobrepõem:
- em (- infty,1), f(x)in(-infty,1),
- em (1,infty), f(x)in(1,infty).
Logo f não repete valores e é injetora em Rsetminus1, isto é, é invertível.

Passo 4

Para achar a inversa, escrevemos
y = x+1x-1
e resolvemos em x. Multiplicando em ambos os lados por (x-1):
y(x-1)=x+1 Longrightarrow yx - y = x + 1 Longrightarrow yx - x = y + 1 Longrightarrow x(y-1) = y+1
Logo, desde que yneq1,
x = y+1y-1
Trocar o papel de x e y dá a expressão da inversa:
f^-1(x) = x+1x-1,
com domínio Rsetminus1.

Resposta

Domínio: Rsetminus1.
Sim, f é invertível em Rsetminus1 e
f^-1(x) = x+1x-1

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