Com o Método dos Coeficientes a Determinar (MCD), encontre a solução geral da edo.
y^prime prime prime-y=3 sen x-cos x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da edo
y''' - y = 3sen x - cos x
usando o método dos coeficientes indeterminados. Vamos decompor a solução em duas partes: a solução homogênea yh e uma solução particular yp.

Passo 2

Para achar yh, montamos a equação característica associada:
r^3 - 1 = 0
As raízes dessa equação são
r1 = 1, r2,3 = e^pm 2pi i/3 = -tfrac12 pm i,tfracraiz32
Como são três raízes distintas (uma real e duas complexas conjugadas), a solução homogênea é
yh(x) = C1 e^x + e^-x/2l(C2cosl(tfracraiz32xr)+C3sinl(tfracraiz32xr)r)

Passo 3

A parte não homogênea é 3sen x - cos x. Como pm i não são raízes da equação característica, tentamos um ansatz da forma
yp(x) = Asin x + Bcos x

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp:
yp' = Acos x - Bsin x, yp'' = -Asin x - Bcos x, yp''' = -Acos x + Bsin x

Passo 5

Substituindo em y'''-y obtemos
yp''' - yp = l(-Acos x + Bsin xr) - l(Asin x + Bcos xr) = (B - A)sin x + (-A - B)cos x
Isso deve ser igual a 3sin x - cos x, o que leva ao sistema
B - A = 3, -A - B = -1

Passo 6

Da segunda equação vem A + B = 1. Somando com B - A = 3 resulta em
2B = 4implies B=2, A=1-B=-1
Logo
yp(x) = -sin x + 2cos x

Passo 7

A solução geral da edo é a soma de yh com yp:
y(x) = C1 e^x + e^-x/2l(C2cosl(tfracraiz32xr)+C3sinl(tfracraiz32xr)r) -sin x + 2cos x

Resposta

y(x) = C1 e^x + e^-x/2l(C2cosl(tfracraiz32xr)+C3sinl(tfracraiz32xr)r) -sin x + 2cos x

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