Duas vigas de aço são conectadas por um ponto em comum. A primeira viga é representada pelo vetor
enquanto a segunda viga é representada por
sendo as distâncias dadas em metros.
Qual o ângulo formado pelas vigas?
Qual o ângulo formado pelas vigas?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos duas vigas de aço representadas por vetores no espaço. A primeira viga é o vetor
e a segunda é o vetor
. A gente precisa descobrir qual é o ângulo formado entre essas duas vigas. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente o produto escalar entre vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é produto escalar. O produto escalar entre dois vetores
e
é dado por:
Onde:
-
é o produto escalar. -
e são as magnitudes (ou módulos) dos vetores. -
é o ângulo entre os vetores.
Nosso objetivo é encontrar
, então vamos reorganizar essa fórmula:
E depois tirar o arco cosseno para achar o ângulo:
Passo 3
Vamos calcular o produto escalar
. Para isso, multiplicamos os componentes correspondentes dos vetores e somamos:
Note que a segunda componente de
é zero porque
só tem a componente
.
Passo 4
Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores
e
. A magnitude de um vetor
é dada por:
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora que temos o produto escalar e as magnitudes, vamos substituir na fórmula do cosseno do ângulo:
Passo 6
Por fim, vamos achar o ângulo
tirando o arco cosseno:
Resposta
O ângulo formado pelas vigas é de
.