Duas vigas de aço são conectadas por um ponto em comum. A primeira viga é representada pelo vetor A=raiz3 i+1 widehatk enquanto a segunda viga é representada por B=1 i sendo as distâncias dadas em metros.
Qual o ângulo formado pelas vigas?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos duas vigas de aço representadas por vetores no espaço. A primeira viga é o vetor A = raiz3 i + 1 widehatk e a segunda é o vetor B = 1 i. A gente precisa descobrir qual é o ângulo formado entre essas duas vigas. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente o produto escalar entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é produto escalar. O produto escalar entre dois vetores A e B é dado por:
A cdot B = |A| , |B| costheta
Onde:
  • A cdot B é o produto escalar.
  • |A| e |B| são as magnitudes (ou módulos) dos vetores.
  • theta é o ângulo entre os vetores.
Nosso objetivo é encontrar theta, então vamos reorganizar essa fórmula:
costheta = A cdot B|A| , |B|
E depois tirar o arco cosseno para achar o ângulo:
theta = arccos( A cdot B|A| , |B| )

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar A cdot B. Para isso, multiplicamos os componentes correspondentes dos vetores e somamos:
A cdot B = (raiz3) times 1 + 0 times 0 = raiz3
Note que a segunda componente de B é zero porque B só tem a componente i.

Passo 4

Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores |A| e |B|. A magnitude de um vetor V = a i + b j + c k é dada por:
|V| = raiza^2 + b^2 + c^2
Para A:
|A| = raiz(raiz3)^2 + 0^2 + 1^2 = raiz3 + 0 + 1 = raiz4 = 2
Para B:
|B| = raiz1^2 + 0^2 + 0^2 = raiz1 = 1

Passo 5

Agora que temos o produto escalar e as magnitudes, vamos substituir na fórmula do cosseno do ângulo:
costheta = raiz32 times 1 = raiz32

Passo 6

Por fim, vamos achar o ângulo theta tirando o arco cosseno:
theta = arccos( raiz32 ) = 30^circ

Resposta

O ângulo formado pelas vigas é de 30^circ.

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