São dados dois vetores A=5,0 imath-5,0 j e B=2,5 imath-10,0 jmath. Um terceiro vetor, C, se encontra no plano xy. O vetor C é perpendicular ao vetor A, e o produto escalar de C com B é 15,0 . Através destas informações calcule o vetor C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores, A e B, e precisa encontrar um terceiro vetor C que está no plano xy. O C tem que ser perpendicular ao vetor A e o produto escalar dele com o B tem que ser igual a 15,0. Vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como vetores perpendiculares e produto escalar, para achar o C.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa C ser perpendicular a A. Dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for zero. Então, se C = x,imath + y,jmath, temos:
A cdot C = 0
Isso nos dá uma equação para relacionar x e y.

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar A cdot C. Sabemos que:
A = 5,0,imath - 5,0,jmath
Então:
(5,0,imath - 5,0,jmath) cdot (x,imath + y,jmath) = 5,0x - 5,0y = 0
Isso simplifica para:
x = y

Passo 4

Agora, vamos usar a segunda condição: o produto escalar de C com B é 15,0. Temos:
B = 2,5,imath - 10,0,jmath
E,
C cdot B = 15,0
Substituindo C = x,imath + y,jmath e lembrando que x = y, temos:
2,5x - 10,0y = 15,0
Como x = y, substituímos:
2,5x - 10,0x = 15,0 -7,5x = 15,0 x = -2,0
Então,
y = -2,0

Resposta

O vetor C é -2,0,imath - 2,0,jmath.

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