Duas vigas biapoiadas de 5 m recebem a mesma carga distribuída de 5 \mathrm{kN} / \mathrm{m}. Viga A: seção 15 \mathrm{~cm} \times 24 \mathrm{~cm}; Viga B: seção 12 \mathrm{~cm} \times 30 \mathrm{~cm}. Ambas as vigas consomem a mesma quantidade de material, pois a área da seção transversal é a mesma. Determine a tensão máxima em cada viga e indique qual delas é mais eficiente.
Resposta: A viga B é mais eficiente, pois a tensão atuante na viga A é de 10,85 \mathrm{MPa} e na viga B é de 8,68 \mathrm{MPa}.

Passo 1

O enunciado trata de duas vigas biapoiadas de comprimento L=5\\ \mathrm{m} submetidas a uma carga uniformemente distribuída de intensidade w=5\\ \mathrm{kN/m}. As seções transversais são retangulares, com mesmas áreas ( 360\\ \mathrm{cm}^2), mas dimensões diferentes:
– Viga A: b_A=15\\ \mathrm{cm}, h_A=24\\ \mathrm{cm}
– Viga B: b_B=12\\ \mathrm{cm}, h_B=30\\ \mathrm{cm}
Queremos calcular a tensão máxima de flexão em cada viga usando a fórmula
\sigma_{\max}=\frac{M_{\max}}{S}
onde M_{\max} é o momento máximo e S é o módulo de seção da reta.

Passo 2

Calcular o momento máximo em uma viga biapoiada com carga uniformemente distribuída. Sabendo que
M_{\max} =\frac{wL^2}{8},
substituímos w=5\\ \mathrm{kN/m}=5000\\ \mathrm{N/m} e L=5\\ \mathrm{m}:
M_{\max} =\frac{5000\cdot(5)^2}{8} =\frac{5000\cdot25}{8} =\frac{125000}{8} =15625\\ \mathrm{N\,m}.

Passo 3

Determinar o módulo de seção S para cada retângulo em torno do eixo neutro horizontal, que vale
S=\frac{b\,h^2}{6}.
Para a viga A, com b_A=15\\ \mathrm{cm} e h_A=24\\ \mathrm{cm}:
S_A =\frac{15\cdot24^2}{6} =\frac{15\cdot576}{6} =15\cdot96 =1440\\ \mathrm{cm}^3 =1{,}440\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^3.
Para a viga B, com b_B=12\\ \mathrm{cm} e h_B=30\\ \mathrm{cm}:
S_B =\frac{12\cdot30^2}{6} =\frac{12\cdot900}{6} =12\cdot150 =1800\\ \mathrm{cm}^3 =1{,}800\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^3.

Passo 4

Calcular a tensão máxima em cada viga pela relação
\sigma_{\max}=\frac{M_{\max}}{S}.
Para a viga A:
\sigma_{A} =\frac{15625\\ \mathrm{N\,m}}{1{,}440\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^3} \approx10{,}85\times10^{6}\\ \mathrm{Pa} =10{,}85\\ \mathrm{MPa}.
Para a viga B:
\sigma_{B} =\frac{15625\\ \mathrm{N\,m}}{1{,}800\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^3} \approx8{,}68\times10^{6}\\ \mathrm{Pa} =8{,}68\\ \mathrm{MPa}.

Passo 5

Comparando as tensões, a viga B apresenta \sigma_{B}=8{,}68\\ \mathrm{MPa} menor que a viga A ( 10{,}85\\ \mathrm{MPa}), logo absorve o momento com menor tensão. Isso significa que, para igual quantidade de material, a viga B é mais eficiente.

Resposta

A viga A: \sigma_{A}=10{,}85\\ \mathrm{MPa}
A viga B: \sigma_{B}=8{,}68\\ \mathrm{MPa}
A viga B é mais eficiente.

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