Um dueto órgão-guitarra: Um tubo fechado de um órgão emite um som nas vizinhanças de uma guitarra fazendo vibrar com grande amplitude uma de suas cordas. A tensão dessa corda é ajustada até se obter a máxima amplitude de oscilação. O comprimento da corda é igual a
do comprimento do tubo fechado. Sabendo que a corda e o tubo vibram com a mesma frequência fundamental, calcule a razão entre a velocidade de propagação da onda na corda e a velocidade de propagação do som no ar.
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o enunciado tá pedindo.
Temos um tubo fechado de órgão e uma corda de guitarra vibrando juntos na mesma frequência fundamental.
Comprimento da corda é
do comprimento do tubo
, ou seja
Temos um tubo fechado de órgão e uma corda de guitarra vibrando juntos na mesma frequência fundamental.
Comprimento da corda
Conteúdo necessário:
- Fórmula da frequência fundamental de um tubo fechado (uma extremidade aberta, outra fechada).
- Fórmula da frequência fundamental de uma corda presa nas duas pontas.
Depois vamos igualar as duas frequências e extrair a razão.
Passo 2
Teoria do tubo fechado:
- Num tubo fechado numa extremidade, a onda sonora cria um “nó” no lado fechado e um “ventre” no lado aberto.
- A menor onda que satisfaz isso tem comprimento de onda
. - A frequência fundamental
é .
Logo,
Aqui,
é a velocidade do som no ar.
Passo 3
Teoria da corda vibrante:
- Numa corda presa nas duas pontas, a menor onda possível forma um nó em cada extremidade e um ventre no meio.
- O comprimento de onda fundamental é
. - A frequência fundamental é
sendo
a velocidade da onda na corda.
Passo 4
Como dizem que as duas vibram na mesma frequência
, basta igualar:
Agora substitui
:
[
\frac{v_{\rm ar}}{4,L_{\rm tubo}}
\frac{v_{\rm corda}}{2,(0{,}8,L_{\rm tubo})}
\frac{v_{\rm corda}}{1{,}6,L_{\rm tubo}}.
]
]
Passo 5
Vamos isolar a razão
.
Partindo de
[
\frac{v_{\rm ar}}{4,L_{\rm tubo}}
\frac{v_{\rm corda}}{1{,}6,L_{\rm tubo}},
]
multiplica em cruz:
[
v_{\rm ar}\times (1{,}6,L_{\rm tubo})
v_{\rm corda}\times (4,L_{\rm tubo}).
]
]
Cancela
dos dois lados:
Resposta
A razão entre a velocidade da onda na corda e a velocidade do som no ar é