Um dueto órgão-guitarra: Um tubo fechado de um órgão emite um som nas vizinhanças de uma guitarra fazendo vibrar com grande amplitude uma de suas cordas. A tensão dessa corda é ajustada até se obter a máxima amplitude de oscilação. O comprimento da corda é igual a 80 % do comprimento do tubo fechado. Sabendo que a corda e o tubo vibram com a mesma frequência fundamental, calcule a razão entre a velocidade de propagação da onda na corda e a velocidade de propagação do som no ar.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o enunciado tá pedindo.
Temos um tubo fechado de órgão e uma corda de guitarra vibrando juntos na mesma frequência fundamental.
Comprimento da corda Lrm corda = 0,8,Lrm tubo, é do comprimento do tubo , ou seja
Conteúdo necessário:
  • Fórmula da frequência fundamental de um tubo fechado (uma extremidade aberta, outra fechada).
  • Fórmula da frequência fundamental de uma corda presa nas duas pontas.
    Depois vamos igualar as duas frequências e extrair a razão .

Passo 2

Teoria do tubo fechado:
  • Num tubo fechado numa extremidade, a onda sonora cria um “nó” no lado fechado e um “ventre” no lado aberto.
  • A menor onda que satisfaz isso tem comprimento de onda f = vrm arlambdarm tubo = vrm ar4,Lrm tubo, .
  • A frequência fundamental é .
    Logo,
Aqui, é a velocidade do som no ar.

Passo 3

Teoria da corda vibrante:
  • Numa corda presa nas duas pontas, a menor onda possível forma um nó em cada extremidade e um ventre no meio.
  • O comprimento de onda fundamental é f = vrm cordalambdarm corda = vrm corda2,Lrm corda,, .
  • A frequência fundamental é
sendo a velocidade da onda na corda.

Passo 4

Como dizem que as duas vibram na mesma frequência vrm ar4,Lrm tubo ;=; vrm corda2,Lrm corda , basta igualar:
vrm ar4,Lrm tubo = vrm corda2,(0,8,Lrm tubo) = vrm corda1,6,Lrm tubo
Agora substitui :
[
\frac{v_{\rm ar}}{4,L_{\rm tubo}}

\frac{v_{\rm corda}}{2,(0{,}8,L_{\rm tubo})}

\frac{v_{\rm corda}}{1{,}6,L_{\rm tubo}}.
]

Passo 5

Vamos isolar a razão vrm ar4,Lrm tubo = vrm corda1,6,Lrm tubo, .
Partindo de
[
\frac{v_{\rm ar}}{4,L_{\rm tubo}}

\frac{v_{\rm corda}}{1{,}6,L_{\rm tubo}},
]
multiplica em cruz:
[
v_{\rm ar}\times (1{,}6,L_{\rm tubo})

v_{\rm corda}\times (4,L_{\rm tubo}).
]
Cancela vrm artimes (1,6,Lrm tubo) = vrm cordatimes (4,Lrm tubo) dos dois lados:
1,6,vrm ar = 4,vrm corda Longrightarrow vrm corda = 1,64,vrm ar = 0,4,vrm ar

Resposta

A razão entre a velocidade da onda na corda e a velocidade do som no ar é
boxedvrm cordavrm ar = 0,4

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