Uma longa casca cilíndrica não-condutora, com raio interno
e raio externo
, recebe carga uniformemente distribuída em toda a sua extensão. Em que posição radial abaixo da superfície externa com carga distribuída, a intensidade do campo elétrico será igual à metade da intensidade do campo elétrico na superfície?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma casca cilíndrica longa, não-condutora, com um raio interno de $ R $ e raio externo de $ 2R $. Essa casca está carregada de maneira uniforme por toda a sua extensão. A pergunta é: em que posição radial, abaixo da superfície externa carregada, a intensidade do campo elétrico será igual à metade da intensidade do campo elétrico na superfície externa?
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Gauss para simetria cilíndrica. Vamos calcular o campo elétrico em diferentes pontos dentro da casca e encontrar onde ele é metade do valor na superfície externa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a carga está distribuída na casca cilíndrica. A carga está uniformemente distribuída entre os raios $ R $ e $ 2R $. Isso significa que a densidade de carga volumétrica $ \rho $ é constante nessa região.
Passo 3
Vamos usar a Lei de Gauss, que nos ajuda a calcular o campo elétrico quando temos simetria. Para uma distribuição cilíndrica, a Lei de Gauss nos diz que:
onde $ Q_{enc} $ é a carga dentro do nosso gaussiano cilíndrico de raio $ r $ e comprimento $ L $.
Passo 4
Vamos considerar um cilindro gaussiano de raio $ r $ e comprimento $ L $, onde $ R \leq r \leq 2R $. A área lateral desse cilindro é $ A = 2\pi r L $. Como a carga está distribuída uniformemente, a carga dentro desse cilindro é proporcional à área.
A densidade de carga $ \sigma $ nas faces internas e externas pode ser calculada como:
Mas para simplificar, vamos pensar na carga por unidade de comprimento, $ \lambda $, que é $ \lambda = \frac{Q}{L} $.
Passo 5
A carga encerrada $ Q_{enc} $ dentro do cilindro gaussiano de raio $ r $ é proporcional ao comprimento dessa região. Como a carga está entre $ R $ e $ 2R $, temos:
Passo 6
Aplicando a Lei de Gauss, temos:
Simplificando $ L $:
Passo 7
Agora, queremos que $ E® = \frac{1}{2} E(2R) $. Primeiro, vamos calcular $ E(2R) $:
Então queremos:
Passo 8
Simplificando a equação:
Cancelamos $ \lambda $ e $ \pi \varepsilon_0 $:
Multiplicando ambos os lados por $ 24r $ para eliminar denominadores:
Passo 9
Expandindo e reorganizando:
Essa é uma equação quadrática em $ r $. Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Como $ r $ deve ser positivo e entre $ R $ e $2R $, descartamos a solução negativa:
Mas isso não faz sentido, porque no ponto $ r = R $, dentro da casca, o campo elétrico deveria ser diferente. Isso indica que devemos verificar nossos cálculos.
Passo 10
Revisando o Passo 7:
A expressão correta para $ E® $ é:
Queremos que $ E® = \frac{1}{2} E(2R) $, onde $ E(2R) = \frac{\lambda R}{4\pi \varepsilon_0} $.
Então:
Cancelando $ \lambda $ e $ \pi \varepsilon_0 $:
Multiplicando ambos os lados por $ 24r $:
Então:
Agora, aplicando a fórmula de Bhaskara novamente:
Como $ r $ deve estar entre $ R $ e $ 2R $, consideramos a solução positiva:
Resposta
A posição radial onde a intensidade do campo elétrico é metade da intensidade na superfície externa é: