Você está precisando de \mathrm{R} \ 600 para pagar uma conta e resolve descontar algum título no banco. Você tem duas opções: um cheque no valor deíêçõ\mathrm{R} $650$, pré-datado para 60 dias, e outro no mesmo valor, mas para 90 dias. O Banco Alfa lhe oferece:
descontar o cheque para 90 dias a 2,4 \% a.m.
Qual das duas alternativas é preferível, sabendo que a operação é de desconto composto “por fora”?

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Há dois cheques com valor nominal igual a \text{R\$ }650, um pré-datado para 60 dias e outro para 90 dias.
  • O Banco Alfa oferece desconto composto (operaçao de desconto composto “por fora”) com taxa de 2,4\% ao mês, isto é, i=0,024 por mês.
  • Pergunta: qual das duas alternativas (descontar o cheque de 60 dias ou o de 90 dias) é preferível para quem vai receber o dinheiro hoje?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Valor nominal N=\text{R\$ }650.
  • Taxa mensal i=0,024.
  • Número de meses para o cheque de 60 dias: n_{60}=2 meses.
  • Número de meses para o cheque de 90 dias: n_{90}=3 meses.
  • Operação é de desconto composto “por fora” (vamos usar a fórmula padrão de valor presente para desconto composto).

Passo 2

Entendendo o conceito e a fórmula que vamos usar (aula curta e prática).
  • Em desconto composto, o valor presente PV é o valor que, aplicado a juros compostos à taxa i por n períodos, cresce até o valor nominal N. Isso nos dá a relação
PV\,(1+i)^{n}=N.
  • Desse modo, isolando PV, obtemos a fórmula do valor presente no desconto composto:
PV=\frac{N}{(1+i)^{n}}.
  • Aqui:
    • PV é o que se recebe hoje ao descontar o título;
    • N é o valor nominal do título (aqui \text{R\$ }650);
    • i é a taxa por período (aqui 0,024 por mês);
    • n é o número de períodos (meses) entre hoje e o vencimento.
  • Observação didática: esse é o cálculo “por fora” no sentido prático de desconto composto usado por bancos — o banco calcula quanto deve descontar de N para que, com capitalização composta, o que sobra hoje seja tal que, capitalizado, dê N.

Passo 3

Calcular o fator (1+i)^{n} para os dois prazos.
  • Para n_{60}=2 meses e i=0,024:
(1+i)^{2}=(1+0,024)^{2}=1,024^{2}=1,048576.
(Explicando o cálculo: 1{,}024^{2}=1{,}024\cdot1{,}024=1{,}048576.)
  • Para n_{90}=3 meses:
(1+i)^{3}=1,024^{3}=1,048576\cdot1,024=1,073741824.
(Explicando: multiplica-se o quadrado por mais um fator 1{,}024.)

Passo 4

Calcular o valor presente do cheque de 60 dias usando a fórmula.
  • Aplicando
PV_{60}=\frac{N}{(1+i)^{2}}=\frac{\text{R\$ }650}{1,048576}.
  • Fazendo a divisão:
PV_{60}\approx \text{R\$ }619,89.
(Detalhe: 650\div1{,}048576\approx619{,}891, arredondando para centavos dá \text{R\$ }619{,}89.)

Passo 5

Calcular o valor presente do cheque de 90 dias.
  • Aplicando
PV_{90}=\frac{N}{(1+i)^{3}}=\frac{\text{R\$ }650}{1,073741824}.
  • Fazendo a divisão:
PV_{90}\approx \text{R\$ }605,36.
(Detalhe: 650\div1{,}073741824\approx605{,}359, arredondando para centavos dá \text{R\$ }605{,}36.)

Passo 6

Comparação e interpretação prática (como decidir na prova).
  • O cheque de 60 dias vale hoje aproximadamente \text{R\$ }619{,}89.
  • O cheque de 90 dias vale hoje aproximadamente \text{R\$ }605{,}36.
  • Quem vai receber o dinheiro hoje prefere o valor presente maior, portanto o cheque de 60 dias é melhor: ele resulta em recebimento maior porque tem menos tempo até o vencimento (menos desconto).

Resposta

O cheque de 60 dias é preferível — você recebe aproximadamente \text{R\$}619{,}89 (enquanto o de 90 dias vale aproximadamente \text{R\$ }605{,}36).

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