Você está precisando de \mathrm{R} \ 600 para pagar uma conta e resolve descontar algum título no banco. Você tem duas opções: um cheque no valor deíêçõ\mathrm{R} $650$, pré-datado para 60 dias, e outro no mesmo valor, mas para 90 dias. O Banco Alfa lhe oferece:
descontar o cheque para 60 dias a 3 \% a.m.
Qual das duas alternativas é preferível, sabendo que a operação é de desconto composto “por fora”?

Passo 1

O enunciado pede que eu escolha qual dos dois cheques (mesmo valor nominal de \mathrm{R}\$\\\ 650, um pré-datado para 60 dias e outro para 90 dias) é mais vantajoso descontar no banco, sabendo que o banco desconta à taxa de 3\% ao mês e que a operação é de desconto composto “por fora”. Informações importantes fornecidas:
  • Valor nominal do cheque: N = \mathrm{R}\$\\\ 650.
  • Taxa de desconto (juros compostos): i = 0{,}03 por mês.
  • Primeiro cheque vence em 60 dias \Rightarrow n_1 = 2 meses.
  • Segundo cheque vence em 90 dias \Rightarrow n_2 = 3 meses.
  • Objetivo: comparar quanto recebo hoje em cada caso (valor atual) e decidir qual é preferível.

Passo 2

Entendendo o que é “desconto composto por fora” (aula rápida e intuitiva).
  • Imagine que o banco antecipa o dinheiro hoje: entrega um valor A agora e, ao final do prazo n, esse valor A cresceria, a juros compostos à taxa i, até alcançar o valor nominal N do cheque. Essa é a ideia básica do desconto composto.
  • A equação que expressa isso é a fórmula do montante por juros compostos, escrita “ao contrário”: N = A\,(1+i)^{n}.
  • Aqui cada símbolo significa:
    • N: valor nominal (face) do cheque, sentido final (no vencimento).
    • A: valor que o banco entrega hoje (valor atual, que queremos calcular).
    • i: taxa por período (aqui i=0{,}03 por mês).
    • n: número de períodos (meses) até o vencimento.
  • Isolando A (que é o que eu recebo hoje), obtemos a fórmula do valor atual: A = \dfrac{N}{(1+i)^{n}}.
  • Observação intuitiva: quanto maior n, maior o fator (1+i)^n no denominador, logo menor será A. Ou seja, cheques com prazos mais longos sofrem desconto maior e valem menos hoje.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao cheque de 60 dias ( n_1=2 meses).
  • Calcular o fator (1+i)^{n_1} = (1+0{,}03)^{2}.
  • Primeiro passo: 1+0{,}03 = 1{,}03.
  • Em seguida: (1{,}03)^{2} = 1{,}03 \times 1{,}03 = 1{,}0609.
  • Agora calcular o valor atual: A_1 = \dfrac{650}{1{,}0609}.
  • Fazendo a divisão (mostrando a conta arredondada a centavos):
    • \dfrac{650}{1{,}0609}\approx 612{,}64.
  • Resultado: descontando o cheque de 60 dias eu recebo aproximadamente \mathrm{R}\$\\\ 612{,}64.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao cheque de 90 dias ( n_2=3 meses).
  • Calcular o fator (1+i)^{n_2} = (1{,}03)^{3}.
  • Já temos (1{,}03)^{2}=1{,}0609. Multiplicando por mais 1{,}03: (1{,}03)^{3}=1{,}0609\times1{,}03=1{,}092727.
  • Calcular o valor atual: A_2 = \dfrac{650}{1{,}092727}.
  • Fazendo a divisão (arredondada a centavos):
    • \dfrac{650}{1{,}092727}\approx 594{,}82.
  • Resultado: descontando o cheque de 90 dias eu recebo aproximadamente \mathrm{R}\$\\\ 594{,}82.

Passo 5

Comparação e interpretação prática (como escolher na hora da prova ou no banco).
  • Valores recebidos hoje:
    • Cheque 60 dias: A_1 \approx \mathrm{R}\$\\\ 612{,}64.
    • Cheque 90 dias: A_2 \approx \mathrm{R}\$\\\ 594{,}82.
  • Você precisa de \mathrm{R}\$\\\ 600 agora. O cheque de 60 dias, descontado, já te dá mais que \mathrm{R}\$\\\ 600. O cheque de 90 dias dá menos que \mathrm{R}\$\\\ 600.
  • Conclusão prática: o cheque de 60 dias é preferível porque, com a mesma taxa mensal, o prazo menor reduz o desconto composto e você recebe mais dinheiro hoje.
  • Dica de prova: sempre transforme dias em períodos compatíveis com a taxa (aqui meses) e use \displaystyle A=\dfrac{N}{(1+i)^n}. Calcule passo a passo (1+i)^n antes de dividir, e arredonde só no final.

Resposta

Descontar o cheque de 60 dias é preferível. Valor recebido aproximado para 60 dias: \mathrm{R}\$\\\ 612{,}64. Valor recebido aproximado para 90 dias: \mathrm{R}\$\\\ 594{,}82.

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