A durabilidade de um tipo de pneu da marca Rodabem é descrita por uma v.a. normal de média 60.000 km e desvio padrão de 8.000 km .
Qual deveria ser a garantia (em km) de tal forma a assegurar que o fabricante trocaria sob garantia no máximo 2 % dos pneus ?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a durabilidade dos pneus segue uma Normal com média μ = 60 000 km e desvio padrão σ = 8 000 km. A pergunta é: qual valor de garantia (digamos k km) faz com que só 2% dos pneus durem menos do que isso? Em estatística, isso é achar o quantil de 2% de uma distribuição Normal. Vamos usar o conceito de variável normal padrão e tabela (ou inversa) da Normal.

Passo 2

Primeiro, lembra que se X é normal com média μ e sigma σ, a gente padroniza assim:
Z = X - musigma
e Z segue Normal(0,1). A condição “2% dos pneus dão problema antes de k km” vira
P(X < k) = 0,02,
Isso equivale a
Pl(Z < k - musigmar) = 0,02,
Então a gente precisa achar o valor z₀ tal que
P(Z < z0) = 0,02,

Passo 3

Consultando tabela da Normal(0,1) ou usando função inversa, acha-se
z0 approx -2,0537,, pois P(Z<-2,0537)approx0,02
Agora voltamos para X:
k - musigma = z0 Longrightarrow k = mu + z0,sigma

Passo 4

Substituindo os números:
k = 60,000 + (-2,0537)times 8,000 approx 60,000 - 16,429,6 approx 43,570,4 (km)
Ou seja, garantindo cerca de 43 570 km, só ~2% dos pneus ficarão ruins antes disso.

Resposta

A garantia deve ser de aproximadamente 43 570 km.

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