Um executivo de um banco está desconfiado de que as duas populações de clientes possuem gastos mensais médios com cartão de crédito diferentes, sendo que os clientes da agência central gastam mais que os clientes da agência periférica. O executivo não conhece as distribuições de gastos mensais com cartão de crédito dos clientes das duas agências, mas ele tem boas razões para assumir que elas são aproximadamente normais com desvios padrões idênticos e iguais a
. O executivo toma duas amostras aleatórias de 15 clientes, uma de cada população, e calcula as médias mensais de gastos com cartão de crédito para as duas amostras, obtendo:
reais e
reais.
Qual é a probabilidade de que a diferença entre as médias de gastos mensais com cartão de crédito das duas populações seja maior que
?
Qual é a probabilidade de que a diferença entre as médias de gastos mensais com cartão de crédito das duas populações seja maior que
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão pediu. Temos duas populações de clientes (agência central e agência periférica) com gastos mensais no cartão de crédito, e o banco suspeita que a média do central é maior que a da periférica. Cada população é aproximadamente normal com desvio‐padrão conhecido σ=450 reais. Pegaram duas amostras de tamanho n₁=n₂=15 e encontraram
\bar X₁=1050 e \bar X₂=920.
O que a gente vai usar aqui é o conteúdo de estatística inferencial sobre a distribuição da diferença entre duas médias, quando os σ’s são conhecidos. A tarefa é achar a probabilidade de que a diferença entre as médias (populacionais) seja maior que R$130, assumindo, na prática, que não há diferença real (ou seja, hipótese de diferença zero).
\bar X₁=1050 e \bar X₂=920.
O que a gente vai usar aqui é o conteúdo de estatística inferencial sobre a distribuição da diferença entre duas médias, quando os σ’s são conhecidos. A tarefa é achar a probabilidade de que a diferença entre as médias (populacionais) seja maior que R$130, assumindo, na prática, que não há diferença real (ou seja, hipótese de diferença zero).
Passo 2
Definimos a variável aleatória da diferença das amostras:
D = \bar X₁ – \bar X₂.
Pela teoria (Teorema Central do Limite), D é aproximadamente Normal com média μ_D = μ₁ – μ₂ e desvio‐padrão
\sigma_D = \sqrt{\frac{\sigma^2}{n₁} + \frac{\sigma^2}{n₂}}.
Para calcular a probabilidade de D > 130 sob a hipótese de μ₁ – μ₂ = 0, a gente padroniza essa D para virar uma Z.
D = \bar X₁ – \bar X₂.
Pela teoria (Teorema Central do Limite), D é aproximadamente Normal com média μ_D = μ₁ – μ₂ e desvio‐padrão
\sigma_D = \sqrt{\frac{\sigma^2}{n₁} + \frac{\sigma^2}{n₂}}.
Para calcular a probabilidade de D > 130 sob a hipótese de μ₁ – μ₂ = 0, a gente padroniza essa D para virar uma Z.
Passo 3
Calcular o desvio‐padrão de D:
\sigma_D = \sqrt{\frac{450^2}{15} + \frac{450^2}{15}}
\quad=;450;\sqrt{\frac{1}{15}+\frac{1}{15}}
\quad=;450;\sqrt{\frac{2}{15}}
\quad\approx;450\times0{,}3651
\quad\approx;164{,}3
\sigma_D = \sqrt{\frac{450^2}{15} + \frac{450^2}{15}}
\quad=;450;\sqrt{\frac{1}{15}+\frac{1}{15}}
\quad=;450;\sqrt{\frac{2}{15}}
\quad\approx;450\times0{,}3651
\quad\approx;164{,}3
Passo 4
Padronizamos o valor 130:
Z = \frac{D - 0}{\sigma_D} = \frac{130 - 0}{164{,}3} \approx 0{,}791.
Aqui “0” é a média da diferença sob a hipótese sem efeito (μ₁–μ₂=0).
Z = \frac{D - 0}{\sigma_D} = \frac{130 - 0}{164{,}3} \approx 0{,}791.
Aqui “0” é a média da diferença sob a hipótese sem efeito (μ₁–μ₂=0).
Passo 5
Queremos P(D > 130) = P\bigl(Z > 0{,}791\bigr).
Na tabela da Normal P(Z > 0{,}791) ≈ 1 – Φ(0{,}791) ≈ 1 – 0{,}7857 ≈ 0{,}2143.
Na tabela da Normal P(Z > 0{,}791) ≈ 1 – Φ(0{,}791) ≈ 1 – 0{,}7857 ≈ 0{,}2143.
Resposta
A probabilidade de a diferença entre as médias ultrapassar R$130,00 é aproximadamente 0,214 (ou 21,4%).