Uma montadora de aeronaves sabe que as turbinas de sua fabricação têm duração normal com média de 300.000 minutos e desvio-padrão de 10.000 minutos. Qual a probabilidade de que uma aeronave, escolhido ao acaso, tenha uma turbina que dure: (a) Menos de 329.500 minutos? (b) Se a montadora substitui a turbina que apresenta duração inferior à garantia, qual deve ser esta garantia para que a porcentagem de turbinas substituídas seja inferior a 0,15%?
Passo 1
Beleza, aqui o enunciado diz que a vida útil das turbinas é Normal(μ=300 000 min, σ=10 000 min). Precisamos usar a distribuição Normal para:
- (a) Calcular P(X < 329 500).
- (b) Achar um valor de garantia G tal que P(X < G)=0,0015 (0,15%).
Para isso vamos aprender a calcular o z-score e usar a função de distribuição acumulada (CDF) da Normal, além de inverter essa CDF para achar o ponto de garantia.
Passo 2
Parte (a): P(X < 329 500)
- Primeiro convertendo X em Z pela fórmula
- Aqui X=329 500, μ=300 000, σ=10 000, então
- A probabilidade pedida é
- Da tabela da Normal padrão ou calculadora,
Ou seja, cerca de 99,84%.
Passo 3
Parte (b): achar a garantia G tal que P(X < G)=0,0015
- Agora queremos o quantil que deixa 0,15% à esquerda. Em Normal padrão isso significa achar z₀ tal que
- Pela tabela inversa ou função quantil, encontra-se
- Voltando para X, usamos
:
Então a garantia deve ficar perto de 270 323 minutos para que menos de 0,15% precisem de troca.
Resposta
(a) ≈ 0,9984 (99,84%)
(b) Garantia ≈ 270 323 minutos.
(b) Garantia ≈ 270 323 minutos.