Uma montadora de aeronaves sabe que as turbinas de sua fabricação têm duração normal com média de 300.000 minutos e desvio-padrão de 10.000 minutos. Qual a probabilidade de que uma aeronave, escolhido ao acaso, tenha uma turbina que dure: (a) Menos de 329.500 minutos? (b) Se a montadora substitui a turbina que apresenta duração inferior à garantia, qual deve ser esta garantia para que a porcentagem de turbinas substituídas seja inferior a 0,15%?

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado diz que a vida útil das turbinas é Normal(μ=300 000 min, σ=10 000 min). Precisamos usar a distribuição Normal para:
  • (a) Calcular P(X < 329 500).
  • (b) Achar um valor de garantia G tal que P(X < G)=0,0015 (0,15%).
    Para isso vamos aprender a calcular o z-score e usar a função de distribuição acumulada (CDF) da Normal, além de inverter essa CDF para achar o ponto de garantia.

Passo 2

Parte (a): P(X < 329 500)
  1. Primeiro convertendo X em Z pela fórmula Z = X - musigma
  2. Aqui X=329 500, μ=300 000, σ=10 000, então Z = 329500 - 30000010000 = 2950010000 = 2,95
  3. A probabilidade pedida é P(X<329500) = Pl(Z < 2,95r)
  4. Da tabela da Normal padrão ou calculadora, P(Z < 2,95) approx 0,9984
Ou seja, cerca de 99,84%.

Passo 3

Parte (b): achar a garantia G tal que P(X < G)=0,0015
  1. Agora queremos o quantil que deixa 0,15% à esquerda. Em Normal padrão isso significa achar z₀ tal que Phi(z0) = 0,0015
  2. Pela tabela inversa ou função quantil, encontra-se z0 approx -2,9677
  3. Voltando para X, usamos G = 300000 + (-2,9677)times10000 approx 300000 - 29677 = 270323 :
Então a garantia deve ficar perto de 270 323 minutos para que menos de 0,15% precisem de troca.

Resposta

(a) ≈ 0,9984 (99,84%)
(b) Garantia ≈ 270 323 minutos.

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