A duração de um certo tipo de pneu, em quilômetros rodados, é uma variável aleatória normal com duração média 60.000 km e desvio padrão de 10.000 km . Qual a probabilidade de que um pneu escolhido ao acaso dure:
a) mais de 75000 km ?
b) entre 63000 e 70000 km ?
c) O fabricante deseja fixar uma garantia de quilometragem, de tal forma que, se a duração do pneu for inferior à garantia, o pneu seja trocado. De quanto deve ser essa garantia para que a probabilidade de que o pneu seja trocado seja de 1 % ?

Passo 1

O enunciado diz que a vida útil X de um pneu, em km, segue uma distribuição normal com média mu = 60000 km e desvio padrão sigma = 10000 km. Para responder às três perguntas, vamos usar o procedimento de padronização à Normal Padrão Zsim N(0,1):
Z = X - musigma

Passo 2

(a) Queremos P(X>75000). Padronizando,
P(X>75000) = Pl(Z > 75000 - 6000010000r) = P(Z>1,5)
Na tabela da Normal Padrão, Phi(1,5)approx0,9332, logo
P(Z>1,5) = 1 - Phi(1,5) approx 1 - 0,9332 = 0,0668

Passo 3

(b) Queremos P(63000 < X < 70000). Padronizando os extremos,
P(63000 < X < 70000) = Pl(63000-6000010000 < Z < 70000-6000010000r) = P(0,3 < Z < 1)
Nas tabelas, Phi(1)approx0,8413 e Phi(0,3)approx0,6179, então
P(0,3<Z<1) = Phi(1) - Phi(0,3) approx 0,8413 - 0,6179 = 0,2234

Passo 4

(c) O fabricante quer uma garantia g tal que P(X<g)=0,01. Padronizando:
P(X<g)=0,01 implies Pl(Z<g-6000010000r)=0,01
O valor crítico para P(Z<z)=0,01 é zapprox -2,3263. Logo
g-6000010000 = -2,3263 Longrightarrow g = 60000 + (-2,3263)times10000 approx 60000 - 23263 = 36737 km

Resposta

(a) 0,0668
(b) 0,2234
(c) Aproximadamente 36737 km.

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