O tempo gasto com todas as etapas da produção de um novo produto tem distribuição Normal, com média de 6 minutos e desvio padrão de 1,5 minutos.
a) Uma empresa estuda a possibilidade de gratificar seus funcionários quando o tempo total gasto com a produção do produto não ultrapassar 5 minutos. Qual a probabilidade de um funcionário receber essa gratificação ao executar essa tarefa?
b) Um dos funcionários da empresa sugeriu ao diretor da empresa que é estabelecido um intervalo de tempo satisfatório para executar tal tarefa entre 4 e 8 minutos. Qual a probabilidade de um funcionário executar essa tarefa no intervalo de tempo sugerido?
c) Qual é o tempo que o diretor da empresa deveria estipular tal que 20 % dos funcionários recebessem a gratificação?

Passo 1

O enunciado diz que o tempo X segue distribuição Normal com média mu=6 minutos e desvio padrão sigma=1,5 minutos. Precisamos calcular a probabilidade de X<=5 no item (a), a probabilidade de 4<= X<=8 no item (b) e, no item (c), determinar o valor x0 tal que P(X<= x0)=0,20. Para isso, vamos usar a padronização e a tabela (ou função) da normal padrão.

Passo 2

Para a parte (a) calculamos
P(X<=5) = Pl(Z<=5-61,5r) = P(Z<= -0,6667)
Consultando a tabela da normal padrão, Phi(-0,6667)approx0,2525. Logo
P(X<=5)approx0,2525

Passo 3

Para a parte (b) determinamos
P(4<= X<=8) = Pl(4-61,5<= Z<=8-61,5r) = P(-1,3333<= Z<=1,3333)
Como a normal padrão é simétrica,
P(-1,3333<= Z<=1,3333) =Phi(1,3333)-Phi(-1,3333) =2,Phi(1,3333)-1
Na tabela, Phi(1,3333)approx0,9082, então
P(4<= X<=8)approx2cdot0,9082-1=0,8164

Passo 4

Para o item (c) queremos x0 tal que
P(X<= x0)=0,20 Longrightarrow Pl(Z<=x0-61,5r)=0,20
Chamando z0=Phi^-1(0,20)approx-0,8416, temos
x0-61,5=z0 Longrightarrow x0=6+1,5,z0approx6+1,5cdot(-0,8416)approx4,7376

Resposta

(a) 0,2525\n(b) 0,8164\n(c) Aproximadamente 4,74 minutos

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