Durante um ano particular, 70 \% das ações ordinárias negociadas na Bolsa de Nova York tiveram aumentadas suas cotações, enquanto 30 \% tiveram suas cotações diminuídas ou estáveis. No começo do ano, um serviço de assessoria financeira escolhe 10 ações como sendo “especialmente recomendadas”. Se as 10 ações representam uma seleção aleatória, qual a probabilidade de que
menos do que quatro ações terem suas cotações aumentadas?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz esta pergunta:
  • Durante o ano, 70\% das ações tiveram aumento de cotação e 30\% diminuíram ou ficaram estáveis.
  • Foi escolhida uma amostra aleatória de 10 ações.
  • Pergunta: qual a probabilidade de que menos do que quatro ações (ou seja, no máximo três) tenham aumento de cotação?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Tamanho da amostra: n=10.
  • Probabilidade de sucesso (aumentar): p=0,7.
  • Probabilidade de fracasso (não aumentar): 1-p=0,3.
  • Evento pedido: X<4, isto é X\le 3, onde X é o número de ações com aumento na amostra.

Passo 2

Modelagem e fórmula que vamos usar (aula rápida de binomial, do jeito que cai na prova).
Quando temos n ensaios independentes, cada um com probabilidade p de “sucesso” (aqui: aumento), o número X de sucessos segue a distribuição binomial:
X \sim \mathrm{Bin}(n,p)
A fórmula da probabilidade de obter exatamente k sucessos é
\Pr(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{n-k},
onde \binom{n}{k} é o coeficiente binomial (número de maneiras de escolher k sucessos em n ensaios) e pode ser calculado por
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.
Explicando em palavras: para cada k contamos as combinações possíveis ( \binom{n}{k}) e multiplicamos pela probabilidade de cada sequência com exatamente k sucessos ( p^k(1-p)^{n-k}).

Passo 3

Aplicando ao problema: queremos
\Pr(X\le 3)=\sum_{k=0}^{3}\binom{10}{k}(0,7)^{k}(0,3)^{10-k}.
Ou seja, somamos as probabilidades de k=0,1,2,3.

Passo 4

Calcular termo a termo (vou mostrar as combinações e as potências para você poder replicar na prova sem calculadora, usando potências exatas quando possível).
Valores úteis:
\binom{10}{0}=1,\qquad \binom{10}{1}=10,\qquad \binom{10}{2}=45,\qquad \binom{10}{3}=120.
Termos:
  • Para k=0:
\Pr(X=0)=\binom{10}{0}(0,7)^{0}(0,3)^{10}=1\cdot 1\cdot(0,3)^{10}.
Como (0,3)^{10}=\dfrac{3^{10}}{10^{10}}=\dfrac{59049}{10^{10}}=0,0000059049, então
\Pr(X=0)=0,0000059049.
  • Para k=1:
\Pr(X=1)=10\cdot(0,7)^{1}(0,3)^{9}=10\cdot 0,7\cdot(0,3)^{9}.
Como (0,3)^{9}=\dfrac{19683}{10^{9}}=0,000019683, temos
\Pr(X=1)=10\cdot 0,7\cdot 0,000019683=0,000137781.
  • Para k=2:
\Pr(X=2)=45\cdot(0,7)^{2}(0,3)^{8}=45\cdot 0,49\cdot(0,3)^{8}.
Como (0,3)^{8}=\dfrac{6561}{10^{8}}=0,00006561, então
\Pr(X=2)=45\cdot 0,49\cdot 0,00006561=0,001446701.
  • Para k=3:
\Pr(X=3)=120\cdot(0,7)^{3}(0,3)^{7}=120\cdot 0,343\cdot(0,3)^{7}.
Como (0,3)^{7}=\dfrac{2187}{10^{7}}=0,0002187, então
\Pr(X=3)=120\cdot 0,343\cdot 0,0002187=0,009007692.

Passo 5

Somando todos os termos para obter \Pr(X\le 3):
\Pr(X\le 3)=0,0000059049+0,000137781+0,001446701+0,009007692.
Fazendo a soma:
\Pr(X\le 3)\approx 0,0105980789\approx 0,010598.
Interpretação prática: a probabilidade de, numa seleção aleatória de 10 ações, menos do que 4 (ou seja, 0 a 3) terem aumentado, é cerca de 0,0106, isto é aproximadamente 1,06\%. É um evento raro porque a probabilidade individual de aumento é alta ( p=0,7).

Resposta

\Pr(X\le 3)\approx 0,010598
\approx 1,0598\%

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