De acordo com o Levantamento de Saúde Nacional, 9,8 \% da população de 18 a 24 anos de idade nos Estados Unidos é canhota.
Qual é a probabilidade de que exatamente três das dez pessoas sejam canhotas?

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede uma probabilidade específica:
  • A fração da população de 18 a 24 anos que é canhota é \,0,098 (ou seja, 9{,}8\%).
  • Serão consideradas 10 pessoas escolhidas (amostra de tamanho 10).
  • A pergunta: qual é a probabilidade de que exatamente 3 dessas 10 pessoas sejam canhotas?

Passo 2

Por que esse problema é resolvido com a distribuição binomial (explicação didática)?
  • Temos 10 tentativas (cada pessoa é uma tentativa).
  • Em cada tentativa há apenas dois resultados possíveis: canhoto ou não canhoto.
  • A probabilidade de sucesso (ser canhoto) em cada tentativa é sempre a mesma: \,p=0,098.
  • As tentativas podem ser tratadas como independentes (assumimos que a característica de uma pessoa não afeta outra numa amostra pequena).
    Quando essas condições valem, a variável aleatória “número de canhotos em n pessoas” segue a distribuição binomial. A fórmula da probabilidade de obter exatamente k sucessos em n ensaios é:
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k}.
Aqui:
  • \,n é o número total de ensaios (aqui \,n=10),
  • \,k é o número de sucessos desejados (aqui \,k=3),
  • \,p é a probabilidade de sucesso em um ensaio (aqui \,p=0,098),
  • \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher quais k ensaios deram sucesso.

Passo 3

Calcular o coeficiente binomial \binom{10}{3}.
A definição é
\binom{10}{3}=\frac{10!}{3!\,7!}.
Para calcular sem expandir todos os fatoriais, observe que
\binom{10}{3}=\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}=\frac{720}{6}=120.
Portanto \binom{10}{3}=120.

Passo 4

Calcular p^{3} com p=0,098.
Primeiro
p^{2}=(0,098)^{2}=0,009604.
Em seguida
p^{3}=(0,098)^{3}=0,009604\times0,098=0,000941192.

Passo 5

Calcular (1-p)^{7} com 1-p=0,902.
Vamos calcular potências sucessivas de forma clara:
0,902^{2}=0,813604,
0,902^{3}=0,813604\times0,902=0,733870808,
0,902^{4}=0,733870808\times0,902=0,661951468816,
0,902^{5}=0,661951468816\times0,902=0,597080224872032,
0,902^{6}=0,597080224872032\times0,902=0,5385663628345729,
0,902^{7}=0,5385663628345729\times0,902=0,48578685927678477.
Arredondando quando necessário, (1-p)^{7}\approx0,4857868593.

Passo 6

Agora juntar tudo na fórmula binomial:
P(X=3)=\binom{10}{3}\,p^{3}\,(1-p)^{7}=120\times0,000941192\times0,4857868593.
Primeiro calcule 120\times0,000941192=0,11294304.
Agora multiplique por 0,4857868593:
0,11294304\times0,4857868593\approx0,054866264.

Passo 7

Interpretação e forma final:
A probabilidade de que exatamente 3 das 10 pessoas sejam canhotas é aproximadamente 0,054866, isto é cerca de 5{,}49\%. Força aí — isso significa que é um evento pouco provável, mas possível.

Resposta

0,054866

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