De acordo com o Levantamento de Saúde Nacional,
da população de 18 a 24 anos de idade nos Estados Unidos é canhota.
Qual é a probabilidade de que exatamente três das dez pessoas sejam canhotas?
Qual é a probabilidade de que exatamente três das dez pessoas sejam canhotas?
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e pede uma probabilidade específica:
- A fração da população de 18 a 24 anos que é canhota é
(ou seja, ). - Serão consideradas
pessoas escolhidas (amostra de tamanho ). - A pergunta: qual é a probabilidade de que exatamente
dessas pessoas sejam canhotas?
Passo 2
Por que esse problema é resolvido com a distribuição binomial (explicação didática)?
- Temos
tentativas (cada pessoa é uma tentativa). - Em cada tentativa há apenas dois resultados possíveis: canhoto ou não canhoto.
- A probabilidade de sucesso (ser canhoto) em cada tentativa é sempre a mesma:
. - As tentativas podem ser tratadas como independentes (assumimos que a característica de uma pessoa não afeta outra numa amostra pequena).
Quando essas condições valem, a variável aleatória “número de canhotos empessoas” segue a distribuição binomial. A fórmula da probabilidade de obter exatamente sucessos em ensaios é:
Aqui:
-
é o número total de ensaios (aqui ), -
é o número de sucessos desejados (aqui ), -
é a probabilidade de sucesso em um ensaio (aqui ), -
é o número de maneiras de escolher quais ensaios deram sucesso.
Passo 3
Calcular o coeficiente binomial
.
A definição é
A definição é
Para calcular sem expandir todos os fatoriais, observe que
Portanto
.
Passo 4
Calcular
com
.
Primeiro
Primeiro
Em seguida
Passo 5
Calcular
com
.
Vamos calcular potências sucessivas de forma clara:
Vamos calcular potências sucessivas de forma clara:
Arredondando quando necessário,
.
Passo 6
Agora juntar tudo na fórmula binomial:
Primeiro calcule
.
Agora multiplique por :
Agora multiplique por
Passo 7
Interpretação e forma final:
A probabilidade de que exatamente das
pessoas sejam canhotas é aproximadamente
, isto é cerca de
. Força aí — isso significa que é um evento pouco provável, mas possível.
A probabilidade de que exatamente