De acordo com o Levantamento de Saúde Nacional, 9,8 \% da população de 18 a 24 anos de idade nos Estados Unidos é canhota.
Qual é a probabilidade de que pelo menos seis das dez pessoas sejam canhotas?

Passo 1

O enunciado dá a seguinte informação e pede isto (peguei a porcentagem do enunciado):
  • A probabilidade de uma pessoa de 18 a 24 anos ser canhota é \,p=9{,}8\%, ou seja \,p=0{,}098.
  • Uma amostra de n=10 pessoas é escolhida aleatoriamente.
  • Pergunta: qual a probabilidade de que pelo menos seis das dez pessoas sejam canhotas? Ou seja, calcular \Pr(X\ge 6) onde X é o número de canhotos na amostra de tamanho 10.

Passo 2

Modelo probabilístico e fórmula (aula rápida e prática).
Quando temos um número fixo de tentativas independentes n, cada tentativa tem probabilidade p de “sucesso” (aqui: ser canhoto), e queremos a probabilidade de um certo número k de sucessos, usamos a distribuição binomial.
A probabilidade exata de ter exatamente k sucessos é
\Pr(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k},
onde
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}
é o número de maneiras de escolher quais k pessoas, p^{k} é a probabilidade de cada uma dessas k ser canhota e (1-p)^{n-k} é a probabilidade das restantes não serem.
Explicando cada símbolo:
  • n é o número total de pessoas ( n=10).
  • k é o número de canhotos que queremos.
  • p é a probabilidade de uma pessoa ser canhota ( p=0{,}098).
  • \binom{n}{k} conta as combinações possíveis (fórmula com fatoriais).

Passo 3

Estratégia prática para calcular \Pr(X\ge 6).
Calcular diretamente \Pr(X\ge 6)=\sum_{k=6}^{10}\Pr(X=k) dá cinco termos; é mais simples usar o complementar:
\Pr(X\ge 6)=1-\Pr(X\le 5)=1-\sum_{k=0}^{5}\Pr(X=k).
Vou calcular cada \Pr(X=k) para k=0,1,\dots,5 e somar.
Defino também q=1-p. Aqui
p=0{,}098,\qquad q=1-p=0{,}902.

Passo 4

Valores das combinações \binom{10}{k} que serão usados (pode-se obter por fatoriais ou pelo triângulo de Pascal):
\binom{10}{0}=1,\quad \binom{10}{1}=10,\quad \binom{10}{2}=45,\quad \binom{10}{3}=120,
\binom{10}{4}=210,\quad \binom{10}{5}=252.

Passo 5

Cálculo termo a termo \Pr(X=k)=\binom{10}{k}\,p^{k}\,q^{10-k} para k=0,1,\dots,5.
Vou mostrar os resultados aproximados (arredondei no final de cada termo para 12 casas decimais quando necessário).
k = 0:
\Pr(X=0)=\binom{10}{0}p^{0}q^{10}=q^{10}=0{,}902^{10}\approx 0{,}356504794933.
k = 1:
\Pr(X=1)=\binom{10}{1}p^{1}q^{9}=10\cdot 0{,}098\cdot 0{,}902^{9}\approx 0{,}387333369218.
k = 2:
\Pr(X=2)=\binom{10}{2}p^{2}q^{8}=45\cdot (0{,}098)^{2}\cdot 0{,}902^{8}\approx 0{,}189372523088.
k = 3:
\Pr(X=3)=\binom{10}{3}p^{3}q^{7}=120\cdot (0{,}098)^{3}\cdot 0{,}902^{7}\approx 0{,}054866244678.
k = 4:
\Pr(X=4)=\binom{10}{4}p^{4}q^{6}=210\cdot (0{,}098)^{4}\cdot 0{,}902^{6}\approx 0{,}010430711630.
k = 5:
\Pr(X=5)=\binom{10}{5}p^{5}q^{5}=252\cdot (0{,}098)^{5}\cdot 0{,}902^{5}\approx 0{,}001354183700.
Observação rápida: calculei cada potência e produto passo a passo (por isso os números pequenos aparecem: p é pequeno, então probabilidades para k altos decrescem muito).

Passo 6

Soma das probabilidades de 0 a 5 canhotos e complementar:
\Pr(X\le 5)=\sum_{k=0}^{5}\Pr(X=k)\approx
0{,}356504794933+0{,}387333369218+0{,}189372523088+0{,}054866244678+0{,}010430711630+0{,}001354183700
\approx 0{,}999861827247.
Logo
\Pr(X\ge 6)=1-\Pr(X\le 5)\approx 1-0{,}999861827247=0{,}000138172753.
Em notação científica, isso é aproximadamente \,1{,}3817\times 10^{-4}, ou em porcentagem \approx 0{,}01382\%.

Passo 7

Interpretação rápida e incentivo: o resultado faz sentido — como somente 9{,}8\% da população é canhota, ter 6 ou mais canhotos em uma amostra de 10 é um evento muito raro, portanto a probabilidade muito pequena está coerente. Fica a dica para a prova: quando p é pequeno e k grande, use o complementar e calcule terminho a terminho; saber os coeficientes binomiais de cabeça ajuda bastante (os de n=10 são muito usados).

Resposta

\Pr(X\ge 6)\approx 0{,}000138172753

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