De acordo com o Levantamento de Saúde Nacional,
da população de 18 a 24 anos de idade nos Estados Unidos é canhota.
Qual é a probabilidade de que pelo menos seis das dez pessoas sejam canhotas?
Qual é a probabilidade de que pelo menos seis das dez pessoas sejam canhotas?
Passo 1
O enunciado dá a seguinte informação e pede isto (peguei a porcentagem do enunciado):
- A probabilidade de uma pessoa de 18 a 24 anos ser canhota é
, ou seja . - Uma amostra de
pessoas é escolhida aleatoriamente. - Pergunta: qual a probabilidade de que pelo menos seis das dez pessoas sejam canhotas? Ou seja, calcular
onde é o número de canhotos na amostra de tamanho .
Passo 2
Modelo probabilístico e fórmula (aula rápida e prática).
Quando temos um número fixo de tentativas independentes , cada tentativa tem probabilidade
de “sucesso” (aqui: ser canhoto), e queremos a probabilidade de um certo número
de sucessos, usamos a distribuição binomial.
Quando temos um número fixo de tentativas independentes
A probabilidade exata de ter exatamente
sucessos é
onde
é o número de maneiras de escolher quais
pessoas,
é a probabilidade de cada uma dessas
ser canhota e
é a probabilidade das restantes não serem.
Explicando cada símbolo:
-
é o número total de pessoas ( ). -
é o número de canhotos que queremos. -
é a probabilidade de uma pessoa ser canhota ( ). -
conta as combinações possíveis (fórmula com fatoriais).
Passo 3
Estratégia prática para calcular
.
Calcular diretamente dá cinco termos; é mais simples usar o complementar:
Calcular diretamente
Vou calcular cada
para
e somar.
Defino também
. Aqui
Passo 4
Valores das combinações
que serão usados (pode-se obter por fatoriais ou pelo triângulo de Pascal):
Passo 5
Cálculo termo a termo
para
.
Vou mostrar os resultados aproximados (arredondei no final de cada termo para 12 casas decimais quando necessário).
Vou mostrar os resultados aproximados (arredondei no final de cada termo para 12 casas decimais quando necessário).
k = 0:
k = 1:
k = 2:
k = 3:
k = 4:
k = 5:
Observação rápida: calculei cada potência e produto passo a passo (por isso os números pequenos aparecem:
é pequeno, então probabilidades para
altos decrescem muito).
Passo 6
Soma das probabilidades de
a
canhotos e complementar:
Logo
Em notação científica, isso é aproximadamente
, ou em porcentagem
.
Passo 7
Interpretação rápida e incentivo: o resultado faz sentido — como somente
da população é canhota, ter 6 ou mais canhotos em uma amostra de 10 é um evento muito raro, portanto a probabilidade muito pequena está coerente. Fica a dica para a prova: quando
é pequeno e
grande, use o complementar e calcule terminho a terminho; saber os coeficientes binomiais de cabeça ajuda bastante (os de
são muito usados).