Durante uma atividade com malha quadriculada, cada quadrado da malha tem 1 cm de lado. A professora desenhou duas figuras:
  • Figura A: um “L” formado por 6 quadrados alinhados assim: 3 na vertical e 3 na horizontal, formando um canto.
  • Figura B: um retângulo 2 \times 4, formado por 8 quadrados dispostos em duas linhas de quatro quadrados.
    Após analisar as figuras, os alunos foram desafiados a comparar os perímetros das duas formas, apenas contando os lados externos visíveis de cada figura na malha.
    Qual das afirmações é correta?
    A) As duas figuras possuem o mesmo número de quadrados, então seus perímetros são iguais.
    B) A Figura A tem maior perímetro, pois sua forma tem mais reentrâncias e lados expostos.
    C) A Figura B tem maior perímetro, pois é mais comprida.
    D) A Figura A tem menor perímetro, pois é mais compacta.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o que comparar:
  • Cada quadrado da malha tem lado de \,1\\ \text{cm}\,.
  • Figura A é um “L” formado por \,6 quadrados dispostos em duas hastes que se encontram num canto (um braço longo e outro mais curto), ou seja, há um total de \,6 quadrados na Figura A.
  • Figura B é um retângulo 2\times4, formado por \,8 quadrados (duas linhas de quatro).
  • A tarefa é comparar os perímetros das duas figuras contando apenas os lados externos visíveis na malha — isto é, o perímetro geométrico em centímetros de cada figura — e escolher a alternativa correta entre A), B), C) e D).

Passo 2

Entender o que significa “perímetro” neste contexto (aula rápida):
  • Perímetro é o comprimento total da fronteira externa da figura.
  • Como a malha é feita de quadrados unitários de lado \,1\\ \text{cm}, cada lado externo visível corresponde a \,1\\ \text{cm}.
  • Portanto, basta contar quantos lados unitários ficam expostos ao exterior; o número desses lados é igual ao perímetro em centímetros.

Passo 3

Uma fórmula útil para contar rapidamente os lados expostos quando se tem blocos unitários (aula prática):
  • Cada quadrado isolado tem \,4 lados. Se tivermos n quadrados somados bruto, teríamos 4n lados somados.
  • Mas quando dois quadrados são adjacentes, eles compartilham uma aresta que não é externa; essa aresta foi contada duas vezes no 4n. Para corrigir, subtraímos 2 para cada par de quadrados adjacentes.
  • Logo, se n é o número de quadrados e a é o número total de adjacências (pares de quadrados que compartilham um lado), o número de lados externos (perímetro em cm) é
\text{Perímetro} = 4n - 2a.í
  • Aqui n é o número de quadrados na figura e a é o número de arestas internas entre quadrados (cada aresta interna conecta exatamente dois quadrados).

Passo 4

Contar adjacências e aplicar a fórmula para a Figura A (explicando como conto):
  • A Figura A tem n=6 quadrados (dado).
  • Vamos visualizar o “L” como duas hastes que se encontram num canto. Uma haste tem 3 quadrados em sequência e a outra haste tem 4 quadrados em sequência, com a célula do canto sendo comum às duas hastes; assim o total é 3+4-1=6. (Essa disposição é a que corresponde a um “L” de 6 quadrados.)
  • Agora conte as adjacências (pares de quadrados que estão lado a lado):
    • Na haste horizontal de comprimento \,3 \,2 adjacências internas (entre primeiro e segundo, e entre segundo e terceiro).
    • Na haste vertical de comprimento \,4 \,3 adjacências internas (entre cada par consecutivo).
    • Não há outras adjacências além dessas, porque as hastes só se encontram na célula do canto (essa célula já está contada nas adjacências das hastes).
  • Total de adjacências: a = 2 + 3 = 5.
  • Aplicando a fórmula:
\text{Perímetro}_{A} = 4n - 2a = 4\cdot 6 - 2\cdot 5 = 24 - 10 = 14\\ \text{cm}.í

Passo 5

Contar adjacências e aplicar a fórmula para a Figura B (retângulo 2\times4):
  • A Figura B tem n=8 quadrados (dado).
  • Para um retângulo em grade m\times k (aqui m=2, k=4), o número de adjacências internas é
    • adjacências horizontais: m\cdot (k-1),
    • adjacências verticais: k\cdot (m-1).
  • Calcule:
    • adjacências horizontais = 2\cdot(4-1)=2\cdot3=6,
    • adjacências verticais = 4\cdot(2-1)=4\cdot1=4.
  • Total de adjacências: a = 6 + 4 = 10.
  • Aplicando a fórmula:
\text{Perímetro}_{B} = 4n - 2a = 4\cdot 8 - 2\cdot 10 = 32 - 20 = 12\\ \text{cm}.í

Passo 6

Comparar os resultados e interpretar (aula de interpretação):
  • Encontramos \text{Perímetro}_{A} = 14\\ \text{cm}í e \text{Perímetro}_{B} = 12\\ \text{cm}í.
  • Conclusão: a Figura A tem perímetro maior que a Figura B.
  • Intuição por trás disso: mesmo tendo menos ou número parecido de quadrados, uma forma em “L” expõe mais arestas ao exterior (mais reentrâncias/contorno), enquanto o retângulo é mais “compacto” e reduz as arestas internas expostas, diminuindo o perímetro.

Resposta

B)

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