Durante uma atividade com malha quadriculada, cada quadrado da malha tem 1 cm de lado. A professora desenhou duas figuras:
- Figura A: um “L” formado por 6 quadrados alinhados assim: 3 na vertical e 3 na horizontal, formando um canto.
- Figura B: um retângulo
, formado por 8 quadrados dispostos em duas linhas de quatro quadrados.
Após analisar as figuras, os alunos foram desafiados a comparar os perímetros das duas formas, apenas contando os lados externos visíveis de cada figura na malha.
Qual das afirmações é correta?
A) As duas figuras possuem o mesmo número de quadrados, então seus perímetros são iguais.
B) A Figura A tem maior perímetro, pois sua forma tem mais reentrâncias e lados expostos.
C) A Figura B tem maior perímetro, pois é mais comprida.
D) A Figura A tem menor perímetro, pois é mais compacta.
Após analisar as figuras, os alunos foram desafiados a comparar os perímetros das duas formas, apenas contando os lados externos visíveis de cada figura na malha.
Qual das afirmações é correta?
A) As duas figuras possuem o mesmo número de quadrados, então seus perímetros são iguais.
B) A Figura A tem maior perímetro, pois sua forma tem mais reentrâncias e lados expostos.
C) A Figura B tem maior perímetro, pois é mais comprida.
D) A Figura A tem menor perímetro, pois é mais compacta.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o que comparar:
- Cada quadrado da malha tem lado de
. - Figura A é um “L” formado por
quadrados dispostos em duas hastes que se encontram num canto (um braço longo e outro mais curto), ou seja, há um total de quadrados na Figura A. - Figura B é um retângulo
, formado por quadrados (duas linhas de quatro). - A tarefa é comparar os perímetros das duas figuras contando apenas os lados externos visíveis na malha — isto é, o perímetro geométrico em centímetros de cada figura — e escolher a alternativa correta entre A), B), C) e D).
Passo 2
Entender o que significa “perímetro” neste contexto (aula rápida):
- Perímetro é o comprimento total da fronteira externa da figura.
- Como a malha é feita de quadrados unitários de lado
, cada lado externo visível corresponde a . - Portanto, basta contar quantos lados unitários ficam expostos ao exterior; o número desses lados é igual ao perímetro em centímetros.
Passo 3
Uma fórmula útil para contar rapidamente os lados expostos quando se tem blocos unitários (aula prática):
- Cada quadrado isolado tem
lados. Se tivermos quadrados somados bruto, teríamos lados somados. - Mas quando dois quadrados são adjacentes, eles compartilham uma aresta que não é externa; essa aresta foi contada duas vezes no
. Para corrigir, subtraímos para cada par de quadrados adjacentes. - Logo, se
é o número de quadrados e é o número total de adjacências (pares de quadrados que compartilham um lado), o número de lados externos (perímetro em cm) é
- Aqui
é o número de quadrados na figura e é o número de arestas internas entre quadrados (cada aresta interna conecta exatamente dois quadrados).
Passo 4
Contar adjacências e aplicar a fórmula para a Figura A (explicando como conto):
- A Figura A tem
quadrados (dado). - Vamos visualizar o “L” como duas hastes que se encontram num canto. Uma haste tem
quadrados em sequência e a outra haste tem quadrados em sequência, com a célula do canto sendo comum às duas hastes; assim o total é . (Essa disposição é a que corresponde a um “L” de 6 quadrados.) - Agora conte as adjacências (pares de quadrados que estão lado a lado):
- Na haste horizontal de comprimento
há adjacências internas (entre primeiro e segundo, e entre segundo e terceiro). - Na haste vertical de comprimento
há adjacências internas (entre cada par consecutivo). - Não há outras adjacências além dessas, porque as hastes só se encontram na célula do canto (essa célula já está contada nas adjacências das hastes).
- Na haste horizontal de comprimento
- Total de adjacências:
. - Aplicando a fórmula:
Passo 5
Contar adjacências e aplicar a fórmula para a Figura B (retângulo
):
- A Figura B tem
quadrados (dado). - Para um retângulo em grade
(aqui , ), o número de adjacências internas é - adjacências horizontais:
, - adjacências verticais:
.
- adjacências horizontais:
- Calcule:
- adjacências horizontais
, - adjacências verticais
.
- adjacências horizontais
- Total de adjacências:
. - Aplicando a fórmula:
Passo 6
Comparar os resultados e interpretar (aula de interpretação):
- Encontramos
e . - Conclusão: a Figura A tem perímetro maior que a Figura B.
- Intuição por trás disso: mesmo tendo menos ou número parecido de quadrados, uma forma em “L” expõe mais arestas ao exterior (mais reentrâncias/contorno), enquanto o retângulo é mais “compacto” e reduz as arestas internas expostas, diminuindo o perímetro.
Resposta
B)