Um jardineiro está instalando uma estaca que deve ser posicionada a 5 metros do chão em um ponto que está a 7 metros de distância da base de uma árvore. Qual deve ser o comprimento da estaca, assumindo que ela forma um triângulo retângulo com o solo?
A) A estaca deve ter um comprimento de \sqrt{ } 12 metros.
B) A estaca deve ter um comprimento de \sqrt{ } 35 metros.
C) A estaca deve ter um comprimento de \sqrt{ } 49 metros.

Passo 1

O enunciado pede que calculemos o comprimento da estaca que forma um triângulo retângulo com o solo.
Dados fornecidos: a estaca toca a árvore a uma altura de 5 metros do chão e o ponto onde a estaca se apoia no solo está a 7 metros da base da árvore. A incógnita é o comprimento da estaca (o segmento que liga o ponto no solo ao ponto na árvore).

Passo 2

Vamos representar o triângulo retângulo com letras para ficar claro. Seja a a distância vertical (altura) entre o chão e o ponto da árvore onde a estaca encosta, seja b a distância horizontal no solo entre a base da árvore e o ponto onde a estaca está fincada, e seja c o comprimento da estaca (a hipotenusa do triângulo). Pelos dados do enunciado temos a=5 e b=7, e queremos c.

Passo 3

Apresentando a ferramenta principal: o Teorema de Pitágoras. Ele diz que, num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa c é igual à soma dos quadrados dos catetos a e b. Em fórmula:
a^{2}+b^{2}=c^{2}
Aqui a e b são os comprimentos dos catetos (as duas pernas perpendiculares do triângulo) e c é o comprimento da hipotenusa (o lado oposto ao ângulo reto).
Um exemplo rápido para fixar a ideia: no triângulo 3- 4- 5 temos 3^{2}+4^{2}=9+16=25=5^{2}. Isso mostra como somamos os quadrados dos catetos para obter o quadrado da hipotenusa.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula aos números do enunciado. Substituímos a=5 e b=7 em \,a^{2}+b^{2}=c^{2}\,:
5^{2}+7^{2}=c^{2}

Passo 5

Calculamos os quadrados e somamos:
5^{2}=25,\qquad 7^{2}=49,\qquad 25+49=74,
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c^{2}=74.
Para encontrar c tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
c=\sqrt{74}.
Observação: 74=2\cdot 37 e 37 é primo, então \sqrt{74} não simplifica para uma raiz exata menor.

Passo 6

Comparando com as alternativas dadas: A) \sqrt{12}, B) \sqrt{35}, C) \sqrt{49}. Nenhuma delas é igual a \sqrt{74}, portanto o comprimento correto calculado é \sqrt{74} metros.

Resposta

\sqrt{74} metros.

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