Durante o auge de uma antiga civilização, como o Império Romano, registros históricos indicam que a produção agrícola anual de uma região específica, em milhares de toneladas, variou ao longo dos anos de forma semelhante à função quadrática:
onde
representa a produção agrícola e t representa o número de décadas desde o início da civilização.
a) Após quantas décadas a produção agrícola atinge seu auge?
b) Qual foi a produção máxima atingida?
c) O que o formato da função sugere sobre o desenvolvimento e declínio dessa civilização?
d) Relacione esse comportamento com causas históricas que possam explicar o declínio da produção.
a) Após quantas décadas a produção agrícola atinge seu auge?
b) Qual foi a produção máxima atingida?
c) O que o formato da função sugere sobre o desenvolvimento e declínio dessa civilização?
d) Relacione esse comportamento com causas históricas que possam explicar o declínio da produção.
Passo 1
O enunciado mostra que a produção agrícola em milhares de toneladas é dada pela função quadrática
onde
é o número de décadas desde o início da civilização. Precisamos de (a) quando ocorre o máximo, (b) valor desse máximo, (c) interpretação do formato da parábola e (d) relacionar esse declínio com possíveis causas históricas. Para isso vamos usar a fórmula do vértice da parábola e interpretação de coeficientes.
Passo 2
Para achar em que
a produção é máxima, usamos a fórmula do vértice de uma parábola
, que ocorre em
Aqui
e
, logo
Passo 3
Agora calculamos a produção máxima substituindo
em
:
Portanto, o pico é de
mil toneladas.
Passo 4
O coeficiente
negativo faz a parábola “abrir para baixo”, indicando que há um período de crescimento até o vértice e depois decréscimo. Assim, a civilização teve expansão agrícola nas primeiras três décadas, chegou ao auge em
e depois passou por declínio.
Passo 5
Historicamente, esse declínio agrícola pode estar ligado a fatores como exaustão do solo por cultivo intensivo, mudanças climáticas (seca ou resfriamento), pragas, esgotamento de mão de obra (pestes), conflitos internos ou invasões externas e crises políticas que interromperam as técnicas e comércio agrícolas.
Resposta
(a)
décadas.
(b) (mil toneladas).
(c) O formato em parábola com sugere crescimento até o vértice em
e subsequente declínio.
(d) Pode-se atribuir o declínio a esgotamento do solo, pragas, epidemias, guerras ou crises políticas que reduziram a produção agrícola.
(b)
(c) O formato em parábola com
(d) Pode-se atribuir o declínio a esgotamento do solo, pragas, epidemias, guerras ou crises políticas que reduziram a produção agrícola.