Durante o auge de uma antiga civilização, como o Império Romano, registros históricos indicam que a produção agrícola anual de uma região específica, em milhares de toneladas, variou ao longo dos anos de forma semelhante à função quadrática:
P(t)=-2 t^{2}+12 t+40
onde \mathrm{P}(\mathrm{t}) representa a produção agrícola e t representa o número de décadas desde o início da civilização.
a) Após quantas décadas a produção agrícola atinge seu auge?
b) Qual foi a produção máxima atingida?
c) O que o formato da função sugere sobre o desenvolvimento e declínio dessa civilização?
d) Relacione esse comportamento com causas históricas que possam explicar o declínio da produção.

Passo 1

O enunciado mostra que a produção agrícola em milhares de toneladas é dada pela função quadrática
P(t) = -2t^{2} + 12t + 40
onde t é o número de décadas desde o início da civilização. Precisamos de (a) quando ocorre o máximo, (b) valor desse máximo, (c) interpretação do formato da parábola e (d) relacionar esse declínio com possíveis causas históricas. Para isso vamos usar a fórmula do vértice da parábola e interpretação de coeficientes.

Passo 2

Para achar em que t a produção é máxima, usamos a fórmula do vértice de uma parábola at^{2}+bt+c, que ocorre em
t_v = -\frac{b}{2a}.
Aqui a = -2 e b = 12, logo
t_v = -\frac{12}{2 \cdot (-2)} = \frac{12}{4} = 3.

Passo 3

Agora calculamos a produção máxima substituindo t=3 em P(t):
P(3) = -2\cdot 3^{2} + 12\cdot 3 + 40 = -2\cdot 9 + 36 + 40 = -18 + 36 + 40 = 58.
Portanto, o pico é de 58 mil toneladas.

Passo 4

O coeficiente a=-2 negativo faz a parábola “abrir para baixo”, indicando que há um período de crescimento até o vértice e depois decréscimo. Assim, a civilização teve expansão agrícola nas primeiras três décadas, chegou ao auge em t=3 e depois passou por declínio.

Passo 5

Historicamente, esse declínio agrícola pode estar ligado a fatores como exaustão do solo por cultivo intensivo, mudanças climáticas (seca ou resfriamento), pragas, esgotamento de mão de obra (pestes), conflitos internos ou invasões externas e crises políticas que interromperam as técnicas e comércio agrícolas.

Resposta

(a) 3 décadas.
(b) 58 (mil toneladas).
(c) O formato em parábola com a<0 sugere crescimento até o vértice em t=3 e subsequente declínio.
(d) Pode-se atribuir o declínio a esgotamento do solo, pragas, epidemias, guerras ou crises políticas que reduziram a produção agrícola.

Exercícios relacionados