Determine o domínio das funções vetoriais:
r(t)=\left(\frac{t-2}{t+2}, \operatorname{sen} t, \ln t\right).

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função vetorial
r(t)=\biggl(\frac{t-2}{t+2},\,\operatorname{sen}t,\,\ln t\biggr).
Para encontrar o domínio, vamos determinar para quais valores de t cada componente está bem definida e depois tomar a interseção desses conjuntos.

Passo 2

A primeira componente é \displaystyle \frac{t-2}{t+2}. Essa expressão é válida desde que o denominador seja diferente de zero, ou seja,
t+2 \neq 0 \qquad\Longrightarrow\qquad t \neq -2.

Passo 3

A segunda componente é \operatorname{sen}t, que está definida para todo t\in\mathbb{R}. Portanto, não impõe restrições adicionais.

Passo 4

A terceira componente é \ln t, que só está definida para t>0.

Passo 5

Agora fazemos a interseção dos domínios:
– De \frac{t-2}{t+2}: t\neq -2.
– De \operatorname{sen}t: todo t.
– De \ln t: t>0.
A única condição relevante é t>0 (pois t>0 já exclui -2).

Resposta

O domínio de r(t) é
(0,\infty).

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