Em resposta a um edital de financiamento de projetos, uma empresa de tecnologia da área de petróleo e gás apresenta três projetos ( A, B e C ). Os analistas da empresa consideram que há 22 % de chance do projeto A ser aprovado, 28% de chance do projeto B ser aprovado, 11 % de chance de serem aprovados os projetos A e B, 5 % de chance de aprovarem os projetos A e C, 7 % de chance de aprovarem os projetos B e C e apenas 1 % de chances de que os 3 projetos sejam aprovados. Por fim, os analistas concluíram também que a probabilidade de haver um e exatamente um projeto aprovado é de 47 %. Responda ao que se pede:
© Qual é a probabilidade de que nenhum dos três projetos seja aprovado?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de probabilidade sobre três projetos de uma empresa de petróleo e gás. A gente vai usar conceitos de probabilidade envolvendo eventos múltiplos, como a probabilidade de nenhum projeto ser aprovado. Pra isso, vamos precisar entender a regra da inclusão-exclusão, que ajuda a calcular a probabilidade de pelo menos um evento acontecer considerando as interações entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos listar as probabilidades que a gente tem:
  • Probabilidade do projeto A ser aprovado: $ P(A) = 22% $
  • Probabilidade do projeto B ser aprovado: $ P(B) = 28% $
  • Probabilidade do projeto C ser aprovado: ainda não sabemos, vamos descobrir depois.
  • Probabilidade de A e B serem aprovados juntos: $ P(A \cap B) = 11% $
  • Probabilidade de A e C serem aprovados juntos: $ P(A \cap C) = 5% $
  • Probabilidade de B e C serem aprovados juntos: $ P(B \cap C) = 7% $
  • Probabilidade dos três projetos serem aprovados: $ P(A \cap B \cap C) = 1% $
  • Probabilidade de exatamente um projeto ser aprovado: $ 47% $

Passo 3

Vamos encontrar a probabilidade do projeto C ser aprovado ($ P© $). Sabemos que a probabilidade de exatamente um projeto ser aprovado é a soma das probabilidades de cada projeto ser aprovado sozinho:
P(C)
Onde:
P(A apenas) + P(B apenas) + P(C apenas) = 47%
P(A apenas) = P(A) - P(A cap B) - P(A cap C) + P(A cap B cap C)
P(B apenas) = P(B) - P(A cap B) - P(B cap C) + P(A cap B cap C)
Vamos calcular cada um:
P(C apenas) = P(C) - P(A cap C) - P(B cap C) + P(A cap B cap C)
P(A apenas) = 22% - 11% - 5% + 1% = 7%
P(B apenas) = 28% - 11% - 7% + 1% = 11%
Sabemos que:
P(C apenas) = P(C) - 5% - 7% + 1%
7% + 11% + (P(C) - 5% - 7% + 1%) = 47%
18% + P(C) - 11% = 47%
P(C) + 7% = 47%

Passo 4

Agora que temos $ P© = 40% P(C) = 40% ãã P(A \cup B \cup C) $):
P(A cup B cup C)
Substituindo os valores:
P(A cup B cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A cap B) - P(A cap C) - P(B cap C) + P(A cap B cap C)

Passo 5

A probabilidade de que nenhum dos três projetos seja aprovado é o complemento da probabilidade de pelo menos um ser aprovado. Ou seja:
P(Nenhum) = 1 - P(A cup B cup C) = 1 - 0,68 = 0,32 ou 32%

Resposta

A probabilidade de que nenhum dos três projetos seja aprovado é de 32%.

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