Durante o auge da pandemia de Covid19, uma empresa farmacêutica lançou um novo tipo de teste rápido para detectar se a pessoa está contaminada com o vírus. A partir de ensaios clínicos realizados em seus laboratórios, a empresa alega que, dentre as pessoas que estavam contaminadas, o teste acusou positivo em 90 % das vezes. A probabilidade de falso alarme foi de 5 % (teste positivo quando a pessoa não está contaminada). Sabe-se ainda que 1,8 % das pessoas testadas estavam contaminadas e tiveram o teste positivo. Com base nestes dados, responda:
(b) Qual a probabilidade de uma pessoa estar livre do vírus e seu teste dar negativo?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está nos pedindo! Estamos falando sobre um teste rápido para Covid-19. A empresa afirma que se uma pessoa está contaminada, o teste dá positivo em 90% das vezes. Se a pessoa não está contaminada, o teste ainda pode dar positivo em 5% das vezes (isso é o que chamamos de falso alarme). Além disso, sabemos que 1,8% das pessoas testadas estavam realmente contaminadas e tiveram um resultado positivo no teste.
Nossa missão aqui é descobrir qual é a probabilidade de uma pessoa não estar contaminada e ter um teste negativo. Vamos usar conceitos de probabilidade para resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar as informações que temos:
  • P(C ∧ N): Probabilidade de a pessoa estar contaminada e ter o teste positivo = 1,8% ou 0,018.
  • P(N | C): Probabilidade de o teste ser positivo dado que a pessoa está contaminada = 90% ou 0,9.
  • P(N | ¬C): Probabilidade de o teste ser positivo dado que a pessoa não está contaminada = 5% ou 0,05.
Aqui, “C” representa estar contaminado, “¬C” é não estar contaminado, “N” é teste positivo e “¬N” é teste negativo.

Passo 3

Para encontrar a probabilidade de uma pessoa não estar contaminada e ter o teste negativo, ou seja, P(¬C ∧ ¬N), precisamos seguir alguns passos.
Primeiro, vamos lembrar que:
P(¬C ∧ ¬N) = P(¬C) - P(¬C ∧ N)
Isso porque a probabilidade de a pessoa não estar contaminada pode ser dividida entre ter o teste negativo e ter o teste positivo.

Passo 4

Vamos calcular P(¬C), a probabilidade de uma pessoa não estar contaminada. Sabemos que a soma das probabilidades de estar ou não contaminada deve ser 1 (100%).
P(C) + P(¬C) = 1
Mas ainda não sabemos , a probabilidade de estar contaminado. Para encontrar isso, podemos usar a informação de que:
P(C ∧ N) = P(N | C) cdot P(C)
Temos P(C ∧ N) = 0,018 e P(N | C) = 0,9. Vamos isolar :
P(C) = P(C ∧ N)P(N | C) = 0,0180,9 = 0,02
Então, P© = 0,02 ou 2%. Agora podemos encontrar P(¬C):
P(¬C) = 1 - P(C) = 1 - 0,02 = 0,98

Passo 5

Agora, precisamos encontrar P(¬C ∧ N), a probabilidade de a pessoa não estar contaminada e ter o teste positivo (falso alarme). Sabemos que:
P(N | ¬C) = 0,05
E já calculamos P(¬C) = 0,98. Então:
P(¬C ∧ N) = P(N | ¬C) cdot P(¬C) = 0,05 cdot 0,98 = 0,049

Passo 6

Agora, voltando à nossa fórmula inicial:
P(¬C ∧ ¬N) = P(¬C) - P(¬C ∧ N) = 0,98 - 0,049 = 0,931

Resposta

A probabilidade de uma pessoa estar livre do vírus e ter o teste negativo é de 93,1%.

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