Durante uma aula de Física, o professor demonstra o funcionamento de um ioiô de massa m preso a uma corda leve enrolada em seu eixo. Ao soltar o ioiô, ele desce desenrolando a corda até atingir o ponto mais baixo, quando a corda fica totalmente esticada e o ioiô começa a subir novamente.
Nesse momento, um aluno pergunta:
“Professor, quando o ioiô chega ao ponto mais baixo e começa a subir, o sentido de rotação dele se inverte?”
Considerando um modelo ideal, sem perdas de energia, a resposta fisicamente CORRETA para a pergunta do aluno é:
a)
sentido de rotação se inverte instantaneamente, pois o ioiô muda o sentido do movimento vertical.
b) O sentido de rotação se anula no ponto mais baixo, e o ioiô começa a girar no sentido oposto ao subir.
c) O sentido de rotação depende apenas da massa do ioiô, podendo inverter ou não conforme o valor de m .
d) O sentido de rotação permanece o mesmo, pois a tensão na corda continua produzindo torque no mesmo sentido.
e) O ioiô para completamente de girar no ponto mais baixo, e só depois volta a girar quando começa a subir.
Nesse momento, um aluno pergunta:
“Professor, quando o ioiô chega ao ponto mais baixo e começa a subir, o sentido de rotação dele se inverte?”
a)
b) O sentido de rotação se anula no ponto mais baixo, e o ioiô começa a girar no sentido oposto ao subir.
c) O sentido de rotação depende apenas da massa do ioiô, podendo inverter ou não conforme o valor de m .
d) O sentido de rotação permanece o mesmo, pois a tensão na corda continua produzindo torque no mesmo sentido.
e) O ioiô para completamente de girar no ponto mais baixo, e só depois volta a girar quando começa a subir.
Passo 1
O enunciado dá um ioiô de massa
preso numa corda leve enrolada em seu eixo. O ioiô é solto, desce desenrolando a corda até o ponto mais baixo (corda totalmente esticada) e então começa a subir, enrolando a corda. O modelo é ideal, sem perdas de energia. A pergunta é escolher, entre as alternativas dadas, qual resposta física correta descreve o sentido de rotação no instante em que o ioiô chega ao ponto mais baixo e começa a subir.
Informações relevantes do enunciado:
- ioiô de massa
preso por uma corda leve enrolada no eixo; - movimento vertical: desce (desenrolando) até o ponto mais baixo, aí inverte o movimento e sobe (enrolando);
- modelo ideal, sem dissipação (energia mecânica conservada);
- pergunta: como se comporta o sentido de rotação no ponto mais baixo (escolher entre as alternativas a–e).
Passo 2
Primeira ideia-chave (condição de não deslizamento entre corda e eixo): enquanto a corda permanece em contato com o eixo sem deslizar, a velocidade linear do centro de massa
e a velocidade angular
do eixo estão ligadas pela condição geométrica de não deslizamento. Tomando eixo positivo para cima, essa condição é
onde
é o raio do eixo (explicando: o ponto do contorno do eixo que está em contato com a corda tem velocidade tangencial
relativa ao centro; para a corda não deslizar, a velocidade desse ponto deve coincidir com a velocidade da corda, que é zero em relação ao teto, logo
→ acima). Reescrevendo,
Aqui:
-
é a velocidade vertical do centro do ioiô (positiva para cima); -
é a velocidade angular (sinalado de modo que corresponde a uma rotação que desenrola a corda enquanto o ioiô desce); -
é o raio do eixo onde a corda está enrolada.
Essa relação é fundamental: sinais e orientações importam, mas o ponto importante é que
e
são proporcionais e, durante o contato sem deslizamento, cada vez que
muda de sinal
deve passar por zero e mudar de sinal também.
Passo 3
Consequência imediata no ponto de inversão vertical: no ponto mais baixo o ioiô muda o sentido do movimento vertical, logo a velocidade linear do centro, medida instantaneamente naquele exato instante, é
. Substitindo na relação de não deslizamento,
Portanto, no instante exato em que o ioiô está no ponto mais baixo (velocidade linear nula) a sua velocidade angular também é zero — a rotação se anula naquele instante. Isso decorre puramente da geometria do contato corda-eixo e da hipótese de não deslizamento.
Passo 4
Argumento por energia (confirmação): como o sistema é ideal (sem perdas), a energia mecânica se conserva. A energia total é
onde
é o momento de inércia do ioiô em torno do eixo e
é a coordenada vertical. Usando a condição de não deslizamento
obtém-se a energia cinética total em função de
:
No ponto mais baixo, toda a energia cinética tem de ser nula se ali a velocidade linear
; portanto
também é zero — coerente com o passo anterior. Não há energia “armazenada” em rotação quando o centro está instantaneamente parado.
Passo 5
Sobre a inversão do sentido: a velocidade angular passa por zero no ponto mais baixo. Para inverter o sentido de rotação é preciso que
mude de sinal; isso acontece de forma contínua (passando por
) sob a ação das forças e torques regulares. Não há nenhum impulso instantâneo (no modelo ideal a corda é leve e as tensões são forças correntes, não impulsos infinitos), então a inversão não ocorre de modo instantâneo e brusco — a rotação se anula e, enquanto o ioiô começa a subir, a dinâmica faz
crescer no sinal oposto ao de antes. Em termos práticos: ao descer a corda desenrola (
com um certo sinal); no fundo
; depois, ao subir, a corda reenrola e
adquire sinal oposto ao original.
Portanto a descrição correta é: a rotação se anula no ponto mais baixo e, quando o ioiô passa a subir, ele passa a girar no sentido oposto ao que tinha ao descer.
Passo 6
Comentário rápido sobre as alternativas:
- (a) está errada porque não pode haver inversão instantânea do sentido de rotação sem um torque impulsivo infinito.
- (c) está errada porque o sentido não depende arbitrariamente da massa
; a geometria e a condição de não deslizamento determinam a relação entre e . - (d) está errada porque a tensão não produz sempre um torque no mesmo sentido relativo à rotação: a relação dinâmica muda quando o movimento vertical muda e, mais diretamente, a análise mostra que
chega a zero e depois muda de sinal. - (e) diz que o ioiô para de girar no ponto mais baixo e “só depois volta a girar quando começa a subir” — isso é parcialmente verdadeiro quanto ao fato de que
no instante do ponto mais baixo, mas a alternativa (b) é mais completa e precisa ao afirmar que, ao subir, a rotação ocorre no sentido oposto. A alternativa (b) é a que descreve corretamente o comportamento completo.
Resposta
b)