Uma onda mecânica harmônica propagase ao longo de uma corda esticada, sendo descrita pela função de onda y(x, t)=A \operatorname{sen}(k x-\omega t) em que \mathrm{y}(\mathrm{x}, \mathrm{t}) representa o deslocamento transversal de um ponto da corda em relação à posição de equilíbrio, k é o número de onda, A é a amplitude e \omega é a frequência angular da oscilação. Sabendo que, em uma onda mecânica, os pontos do meio apenas oscilam em torno de suas posições de equilíbrio, a velocidade de um ponto da corda situado em um ponto fixo em x é:
a) v=-\omega A \operatorname{sen}(k x-\omega t)
b) v=-\omega A \cos (k x-\omega t)
c) v=\omega k A \cos (k x-\omega t)
d) v=-\omega k \operatorname{sen}(k x-\omega t)
e) v=k \cos (k x-\omega t)

Passo 1

O enunciado nos dá a função de onda
y(x,t)=A\operatorname{sen}(kx-\omega t),
onde:
  • y(x,t) é o deslocamento transversal de um ponto da corda em função da posição x e do tempo t;
  • A é a amplitude (unidade de comprimento);
  • k é o número de onda (unidade de radiano por comprimento);
  • \omega é a frequência angular (unidade de radiano por tempo).
A pergunta é: qual é a velocidade de um ponto da corda situado em uma posição fixa x. Ou seja, queremos a velocidade vertical (transversal) de uma partícula da corda localizada em x enquanto o tempo varia.

Passo 2

Entender o que significa "velocidade de um ponto da corda em posição fixa x".
  • Cada ponto da corda com coordenada fixa x oscila em y ao longo do tempo. A velocidade desse ponto é a derivada temporal do deslocamento, mantendo x constante.
  • Em notação matemática, a velocidade transversal é a derivada parcial de y em relação a t com x fixo:
v(x,t)=\frac{\partial y}{\partial t}\Big|_{x}.
Explicando cuidadosamente: toma-se a função y vista como função do tempo (para um x fixo); a razão de variação instantânea desse y em relação a t é a velocidade.

Passo 3

Aplicar a regra de derivação à função y(x,t)=A\operatorname{sen}(kx-\omega t).
  • Primeiro, lembrar a regra da cadeia: se y=A\operatorname{sen}(u(t)), então
\frac{dy}{dt}=A\cos(u(t))\cdot \frac{du}{dt}.
Aqui a função interna é u(t)=kx-\omega t. Note que kx é constante quando derivamos em relação a t, porque x é fixo.

Passo 4

Calcular explicitamente a derivada temporal:
  • Derivada da parte interna:
\frac{\partial}{\partial t}(kx-\omega t)=0 - \omega = -\omega,
já que kx não depende de t.
  • Aplicando a regra da cadeia:
\frac{\partial y}{\partial t}=A\cos(kx-\omega t)\cdot(-\omega).

Passo 5

Arrumando a expressão final e comentando:
\frac{\partial y}{\partial t} = -\omega A \cos(kx-\omega t).
Interpretações rápidas e úteis para a prova:
  • É uma velocidade transversal (unidades de comprimento/tempo).
  • O módulo máximo da velocidade é \omega A; ocorre quando \cos(kx-\omega t)=\pm 1.
  • Zera quando \cos(kx-\omega t)=0, ou seja, quando kx-\omega t=\pm \pi/2 + n\pi.

Resposta

b) \,v=-\omega A \cos(k x-\omega t)

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