Utilizando o modelo do Espalhamento Compton, determine a diferença no comprimento de onda de um fóton após sofrer espalhamento por elétrons livres estacionários, considerando que o ângulo de espalhamento do fóton em relação à sua direção inicial é \theta=45^{\circ}. Admita que os elétrons não estão ligados a átomos ou moléculas e que sua velocidade inicial é desprezível.
Considere a constante de Compton para o elétron \lambda_{\mathrm{c}}=2,43 \times 10^{-12} \mathrm{~m}.
a) 1,22 \times 10^{-12} \mathrm{~m}.
b) 2,43 \times 10^{-12} \mathrm{~m}.
c) 3,50 \times 10^{-13} \mathrm{~m}.
d) 7,10 \times 10^{-13} \mathrm{~m}.
e) 8,10 \times 10^{-10} \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado pede a diferença no comprimento de onda de um fóton devido ao espalhamento Compton por elétrons livres inicialmente em repouso, quando o ângulo de espalhamento é \theta=45^\circ. As informações relevantes fornecidas são:
  • ângulo de espalhamento: \theta=45^\circ;
  • constante de Compton do elétron: \lambda_{\mathrm{c}}=2,43\times10^{-12}\\ \mathrm{m} (valor dado).
O objetivo é calcular a variação do comprimento de onda \Delta\lambda e escolher a alternativa correta entre as dadas.

Passo 2

Apresentando a fórmula do espalhamento Compton e explicando o que cada símbolo significa.
O efeito Compton descreve a mudança no comprimento de onda de um fóton ao colidir com um elétron livre. A fórmula básica (obtida aplicando conservação de energia e momento relativísticos) é:
\Delta\lambda=\lambda' - \lambda = \lambda_{\mathrm{c}}\,(1-\cos\theta),
onde:
  • \Delta\lambda é a diferença entre o comprimento de onda final \lambda' e o inicial \lambda;
  • \lambda_{\mathrm{c}}=\dfrac{h}{m_e c} é a constante de Compton do elétron (aqui fornecida);
  • \theta é o ângulo de espalhamento do fóton medido em relação à direção inicial;
  • \cos\theta é o cosseno desse ângulo.
Explicação didática curta: fisicamente, quanto maior o desvio angular \theta, maior a transferência de momento para o elétron e maior o aumento do comprimento de onda do fóton. A fórmula acima já encerra essa relação direta.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso \theta=45^\circ. Primeiro escrevemos a expressão específica:
\Delta\lambda=\lambda_{\mathrm{c}}\left(1-\cos45^\circ\right).

Passo 4

Calcular \cos45^\circ. Sabemos da trigonometria que
\cos45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx0,70710678.
Portanto
1-\cos45^\circ=1-\frac{\sqrt{2}}{2}\approx0,29289322.

Passo 5

Agora multiplicar pelo valor de \lambda_{\mathrm{c}} fornecido. Escrevendo a conta:
\Delta\lambda=\left(2,43\times10^{-12}\right)\times\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right).
Fazendo a multiplicação numérica passo a passo:
2,43\times0,29289322\approx0,71173052,
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\Delta\lambda\approx0,71173052\times10^{-12}\\ \mathrm{m}=7,1173052\times10^{-13}\\ \mathrm{m}.
Arredondando de forma compatível com as alternativas dadas, obtemos aproximadamente
\Delta\lambda\approx7,10\times10^{-13}\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Comparando com as alternativas fornecidas, o valor calculado \approx7,10\times10^{-13}\\ \mathrm{m} corresponde à alternativa (d). Parabéns — mesmo sob pressão, a fórmula direta resolve rapidinho!

Resposta

(d) 7,10\times10^{-13}\\ \mathrm{m}

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