(a) Separe a equação de Schroedinger independente do tempo do problema 19 em três equações de Schroedinger independentes do tempo, uma para cada coordenada. (b) Com-pare-as com (5-37). (c) Explique claramente o que devemos supor a respeito da forma da energia potencial de forma a tornar a separação possível, e qual é o significado físico desta hipótese. (d) Dé um exemplo de um sistema que teria um potencial deste tipo.
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas: (a) separar a equação de Schrödinger independente do tempo do problema 19 em três equações independentes do tempo, uma para cada coordenada; (b) comparar essas equações com a equação referida como (5-37); (c) explicar claramente qual suposição sobre a forma do potencial é necessária para que a separação seja possível e qual é o significado físico dessa hipótese; (d) dar um exemplo de um sistema com um potencial desse tipo.\n
As informações relevantes que usaremos (assumindo a formulação padrão do problema) são: a equação de Schrödinger independente do tempo em três dimensões e a função de onda \Psi(x,y,z). Escrevo a equação que vamos separar:
Ideia do método: vamos tentar a separação de variáveis assumindo que a solução pode ser escrita como produto de funções que dependem cada uma de uma coordenada:
\Psi(x,y,z)=X(x)\,Y(y)\,Z(z).
Por que essa hipótese? Porque muitos problemas com potenciais “sem acoplamento” entre coordenadas permitem escrever a solução como produto de modos independentes: cada coordenada “vibra” à sua maneira. Essa é uma técnica padrão para PDEs que são simétricas em cada variável; vou mostrar explicitamente como ela funciona.
Passo 3
Aplicamos o laplaciano na forma separada. O laplaciano em coordenadas cartesianas é \nabla^{2}=\dfrac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\dfrac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}+\dfrac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}. Ao agir sobre \Psi=X(x)Y(y)Z(z) obtemos:
Divido toda a equação por XYZ (assumindo XYZ\neq 0 nas regiões de interesse) para obter:
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\left(\frac{X''(x)}{X(x)}+\frac{Y''(y)}{Y(y)}+\frac{Z''(z)}{Z(z)}\right) + V(x,y,z) = E.
Neste ponto vemos que o primeiro parêntese é a soma de termos que dependem separadamente de x, y e z. Para que essa identidade seja válida para todo (x,y,z) é necessário que o termo envolvendo o potencial também separe em termos que dependem isoladamente de x, y e z. Portanto fazemos a suposição essencial:
Passo 5
Suposição necessária sobre o potencial:
V(x,y,z)=V_{x}(x)+V_{y}(y)+V_{z}(z).
Expliquei: essa é a condição de separabilidade do potencial em coordenadas cartesianas — o potencial é soma de termos que dependem apenas de uma coordenada cada. Substituindo essa forma na equação obtida no passo anterior:
Agora agrupamos os termos por dependência em cada coordenada:
\underbrace{\left[-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{X''(x)}{X(x)} + V_{x}(x)\right]}_{\text{função apenas de }x} \;+\; \underbrace{\left[-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{Y''(y)}{Y(y)} + V_{y}(y)\right]}_{\text{função apenas de }y} \;+\; \underbrace{\left[-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{Z''(z)}{Z(z)} + V_{z}(z)\right]}_{\text{função apenas de }z} \;=\; E.
Uma soma de uma função de x só, uma função de y só e uma função de z só é uma constante E para todos x,y,z somente se cada uma dessas funções for igual a uma constante (separação de variáveis). Assim introduzimos constantes de separação E_{x}, E_{y}, E_{z} tais que
Cada uma das equações obtidas para X, Y e Z tem exatamente essa mesma forma: são equações do tipo “equação de Schrödinger unidimensional” com potenciais V_{x}(x), V_{y}(y), V_{z}(z) e energias parciais E_{x}, E_{y}, E_{z}. Portanto as equações separadas coincidem estruturalmente com (5-37).
Passo 9
Significado físico da hipótese V(x,y,z)=V_{x}(x)+V_{y}(y)+V_{z}(z): isso significa que o potencial não contém termos que “misturam” coordenadas, como x y, x z, y z ou funções de r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} que não se escrevem como soma de funções univariadas. Fisicamente, é dizer que as forças atuantes nas direções x, y e z são independentes — a dinâmica em cada direção é governada por um potencial próprio, e o movimento nas diferentes direções não está acoplado. Consequência prática: a energia total é soma de energias parciais (E=E_{x}+E_{y}+E_{z}) e a função de onda é produto de funções unidimensionais. Observação importante: potenciais que dependem apenas da distância radial r, isto é V(r), não têm a forma soma-de-univariadas em coordenadas cartesianas; porém eles podem ser separáveis em coordenadas esféricas de outra forma (radial + angulares). Portanto “separável” depende das coordenadas escolhidas.
Passo 10
Exemplos de sistemas com potencial separável em cartesianas:
Poço cúbico infinito (partícula em uma caixa retangular): dentro da caixa V(x,y,z)=0 e nas paredes V=\infty. Aqui V_{x}=V_{y}=V_{z}=0 dentro da região, trivially separável; as soluções são produtos de senos e as energias são soma de termos quantizados \propto n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}.\n
Cada coordenada tem então a equação do oscilador harmônico unidimensional com energia E_{x}=(n_{x}+\tfrac{1}{2})\hbar\omega_{x}, etc., e a energia total é soma dessas parcelas.\n
Esses exemplos mostram sistemas físicos onde a separação funciona exatamente.
Resposta
(a) -\dfrac{\hbar^{2}}{2m}X''(x)+V_{x}(x)X(x)=E_{x}X(x)\n -\dfrac{\hbar^{2}}{2m}Y''(y)+V_{y}(y)Y(y)=E_{y}Y(y)\n -\dfrac{\hbar^{2}}{2m}Z''(z)+V_{z}(z)Z(z)=E_{z}Z(z), com E=E_{x}+E_{y}+E_{z}.\n
(b) Cada uma é da forma -\dfrac{\hbar^{2}}{2m}\dfrac{d^{2}\varphi}{du^{2}}+V(u)\varphi=E_{u}\varphi, ou seja, coincide estruturalmente com (5-37).\n
(c) Deve-se supor V(x,y,z)=V_{x}(x)+V_{y}(y)+V_{z}(z). Fisicamente isso significa ausência de acoplamento entre coordenadas: forças independentes em x,y,z e energia total como soma de energias parciais.\n
(d) Exemplos: partícula em uma caixa retangular (poço infinito) e o oscilador harmônico anisotrópico V=\tfrac{1}{2}m(\omega_{x}^{2}x^{2}+\omega_{y}^{2}y^{2}+\omega_{z}^{2}z^{2}).