Durante a elaboração de móveis planejados, um marceneiro recebeu uma encomenda para que fosse feita uma mesa de madeira cujo tampo era um octógono regular. Calcule a soma dos seus ângulos internos, o valor de um ângulo externo, o número de diagonais distintas possível e a área deste tampo de madeira, sabendo que seus lados possuem 70 cm de comprimento.

Passo 1

No enunciado temos um octógono regular com n=8 lados de comprimento a=70 cm. Precisamos calcular:
– soma dos ângulos internos;
– valor de um ângulo externo;
– número de diagonais distintas;
– área do octógono.
As fórmulas gerais para um polígono regular de n lados são:
sumint=(n-2),180^circ,
alphaext=360^circn,
d=n(n-3)2,
A=n,a^24tan!l(tfracpinr)

Passo 2

Para a soma dos ângulos internos aplicamos
sumint=(n-2),180^circ=(8-2),180^circ=6cdot180^circ=1080^circ

Passo 3

Um ângulo externo de um polígono regular é dado por
alphaext=360^circn=360^circ8=45^circ

Passo 4

O número de diagonais distintas é
d=n(n-3)2=8,(8-3)2=8cdot52=20

Passo 5

Para a área usamos
A=n,a^24tan!l(tfracpinr) =8cdot70^24tan!l(tfracpi8r) =8cdot49004tan!(22,5^circ) =392004(raiz2-1) =9800raiz2-1 =9800(raiz2+1) cm^2
onde usamos tan(22,5^circ)=raiz2-1. Numericamente
Aapprox9800cdot2,4142approx23660 cm^2

Resposta

Soma dos ângulos internos: 1080^circ
Ângulo externo: 45^circ
Número de diagonais: 20
Área: 9800(raiz2+1)approx23660 cm^2

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