Seja V o subespaço vetorial de funções reais gerado por sent, cost . Denotando por D ao operador de derivação sobre V, determine autovalores e autovetores de D.

Passo 1

O enunciado diz que V é o subespaço de funções reais gerado por sin t,cos t e que D é o operador derivação em V. Queremos encontrar todos os lambdainR (ou, se necessário, em C) e não-nulos vin V tais que
D v = lambda ,v

Passo 2

Seja
v(t)=a,sin t + b,cos t,
com a,binR (não ambos zero). Então
D,v(t)=a,ddt(sin t)+b,ddt(cos t) =acos t - bsin t
A condição de autovetor D v=lambda v
acos t - bsin t =lambdal(asin t + bcos tr)

Passo 3

Comparando coeficientes de
Para existir solução não-trivial ((a,b)\neq(0,0)], o determinante deve anular, o que leva a

Passo 4

Da equação lambda^2+1=0 obtemos
lambda = pm i
Isso mostra que não há autovalores reais. Se quisermos trabalhar sobre C, então os autovalores são
lambda1 = i, lambda2 = -,i

Passo 5

Para lambda1=i, da equação a=lambda b segue a=i,b. Logo um autovetor correspondente é
v1(t)=cos t + isin t = e^i t
Para lambda2=-,i, segue a=-,i,b e um autovetor é
v2(t)=cos t - isin t = e^-,i t

Resposta

Os autovalores sobre R não existem.
Se estendermos a coeficientes complexos, os autovalores são
lambda = ielambda = -,i,
com autovetores respectivamente
v(t)=e^i t=cos t + isin t e v(t)=e^-,i t=cos t - isin t

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