Seja
o subespaço vetorial de funções reais gerado por
sent, cost
. Denotando por
ao operador de derivação sobre
, determine autovalores e autovetores de
.
Passo 1
O enunciado diz que
é o subespaço de funções reais gerado por
e que
é o operador derivação em
. Queremos encontrar todos os
(ou, se necessário, em
) e não-nulos
tais que
Passo 2
Seja
com
(não ambos zero). Então
A condição de autovetor
dá
Passo 3
Comparando coeficientes de
Para existir solução não-trivial ((a,b)\neq(0,0)], o determinante deve anular, o que leva a
Passo 4
Da equação
obtemos
Isso mostra que não há autovalores reais. Se quisermos trabalhar sobre
, então os autovalores são
Passo 5
Para
, da equação
segue
. Logo um autovetor correspondente é
Para
, segue
e um autovetor é
Resposta
Os autovalores sobre
não existem.
Se estendermos a coeficientes complexos, os autovalores são
Se estendermos a coeficientes complexos, os autovalores são
com autovetores respectivamente